Ακέραιο ξερίζωμα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10758
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ακέραιο ξερίζωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 06, 2019 10:31 am

Βρείτε - ει δυνατόν χωρίς εξωτερίκευση της ( όποιας ) δυσαρέσκειάς σας - μιαν ακέραια λύση για την εξίσωση :

\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+2}}+\sqrt{x-\sqrt{x+2}} = \sqrt{2}\sqrt{(2+\sqrt{2})^2+(2+2\sqrt{2})^2+(2+\sqrt{2})(2+2\sqrt{2}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3971
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ακέραιο ξερίζωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Οκτ 06, 2019 10:59 am



Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακέραιο ξερίζωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 06, 2019 11:19 am

Μετά τις πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση: \displaystyle x + \sqrt {{x^2} - x - 2}  = 26 + 18\sqrt 2 ,

απ' όπου \boxed{x=26} (Παρέλειψα τους περιορισμούς).


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10758
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ακέραιο ξερίζωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 06, 2019 12:02 pm

Ένα ερώτημα με αφορμή την λύση του Γιώργου ( και με τους περιορισμούς ! ) :

Δείξτε ότι η συνάρτηση : f(x)=x+\sqrt{x^2-x-2} , είναι : "1-1" .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ακέραιο ξερίζωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Οκτ 09, 2019 8:47 pm

Καλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι ότι ο Θανάσης επιζητά λύσεις δίχως παραγώγους.

Το Π.Ο. της f είναι  \displaystyle A = \left( { - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right)

Έστω  \displaystyle {x_2} > {x_1} \ge 2 .

Οπότε  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{x_2} - 2 > {x_1} - 2 \ge 0\\ 
{x_2} + 1 > {x_1} + 1 \ge 3 
\end{array} \right. \Rightarrow x_2^2 - {x_2} - 2 > x_1^2 - {x_1} - 2 \ge 0

 \displaystyle  \Rightarrow \sqrt {x_2^2 - {x_2} - 2}  > \sqrt {x_1^2 - {x_1} - 2}  \ge 0 ,

οπότε  \displaystyle {x_2} + \sqrt {x_2^2 - {x_2} - 2}  > {x_1} + \sqrt {x_1^2 - {x_1} - 2}  \ge 2 \Rightarrow f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right) \ge 2

Άρα η f είναι 1-1 ως γν. αύξουσα στο  \displaystyle \left[ {2,\; + \infty } \right)

Όμως, για το άλλο διάστημα δεν βλέπω άλλη μέθοδο, εκτός της μελέτης του προσήμου της παραγώγου, η οποία δεν έχει ρίζες στα δύο διαστήματα, άρα διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα απ' αυτά και εύκολα βλέπουμε ότι είναι αρνητική στο  \displaystyle  \left( { - \infty , - 1} \right], οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Κατόπιν, βρίσκουμε ότι το όριό της στο - \infty είναι \frac{1}{2}, ενώ το ελάχιστό της στο  \left[ {2, + \infty } \right) είναι το 2, άρα δεν παίρνει κοινές τιμές στα δύο διαστήματα, οπότε είναι "1-1" στο Π.Ο. της.

(ΔΕΝ έγραψα αναλυτικά το δεύτερο κομμάτι, περιμένοντας λύση δίχως παραγώγους. Αν δεν δοθεί θα την διατυπώσω με πληρότητα).


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ακέραιο ξερίζωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Οκτ 09, 2019 10:48 pm

Ξανακοιτώντας το, βρίσκω ενδιαφέρον το θέμα (και προσιτό ως θέμα εξετάσεων), οπότε αναρτώ μια πιο λεπτομερή απάντηση με τη χρήση παραγώγων. Θα ήθελα να δω μια λύση στο πρώτο διάστημα, δίχως παραγώγους.


H συνάρτηση  \displaystyle f(x) = x + \sqrt {{x^2} - x - 2} ,\;\;x \in \left( { - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right) είναι παραγωγίσιμη στο  \displaystyle \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {2, + \infty } \right)

με  \displaystyle f'(x) = \frac{{2x - 1 + 2\sqrt {{x^2} - x - 2} }}{{2\sqrt {{x^2} - x - 2} }} .

Για x > 2, είναι  \displaystyle f'\left( x \right) > 0 άρα η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο  \displaystyle \left[ {2,\; + \infty } \right) με ελάχιστο το  \displaystyle f\left( 2 \right) = 2 .

Για x<-1 είναι  \displaystyle f'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - x - 2}  = 1 - 2x

Τα δύο μέλη είναι θετικά, οπότε τετραγωνίζοντας ισοδύναμα έχουμε:  \displaystyle 4{x^2} - 4x - 8 = 4{x^2} - 4x + 1 , που είναι αδύνατη, άρα η  \displaystyle f'\left( x \right) δεν έχει ρίζα, οπότε, αφού είναι συνεχής, διατηρεί πρόσημο στο  \displaystyle \left( { - \infty ,\; - 1} \right) .

Είναι  \displaystyle f'\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 1}}{4} < 0 , άρα  \displaystyle f'\left( x \right) < 0 , οπότε η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο  \displaystyle \left( { - \infty ,\; - 1} \right] .

Είναι  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - x - 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 2}}{{x - \sqrt {{x^2} - x - 2} }} =

 \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\left( {1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} } \right)}} = \frac{1}{2} , άρα για  \displaystyle x \in \left( { - \infty ,\; - 1} \right] είναι  \displaystyle f\left( x \right) < \frac{1}{2} ,

οπότε η f(x) δεν παίρνει κοινές τιμές στα διαστήματα  \displaystyle \left( { - \infty , - 1} \right],\;\;\left[ {2, + \infty } \right) , άρα είναι 1-1 στο Π.Ο. της.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1668
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ακέραιο ξερίζωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Οκτ 09, 2019 11:56 pm

Γιώργο την καλησπέρα μου!

Χωρίς να υπάρχει ιδιαίτερο πρόβλημα στις πράξεις καταλήγουμε ότι : \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{x_1+x_2}{\sqrt {{x_2^2} - x_2 - 2}+\sqrt {{x_1^2} - x_1 - 2}}
Ανάλογα λοιπόν των διατημάτων \left( { - \infty , - 1} \right] και  \left[ {2, + \infty } \right) ο λόγος μεταβολής είναι αρνητικός και θετικός αντίστοιχα για x_1\neq x_2.

Τα παραπάνω είναι λάθος , όπως πολύ σωστά επεσήμανε ο Σταύρος με π.μ. , που τον ευχαριστώ πολύ.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Πέμ Οκτ 10, 2019 12:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2568
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ακέραιο ξερίζωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 10, 2019 12:14 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 12:02 pm
Ένα ερώτημα με αφορμή την λύση του Γιώργου ( και με τους περιορισμούς ! ) :

Δείξτε ότι η συνάρτηση : f(x)=x+\sqrt{x^2-x-2} , είναι : "1-1" .
Για να το δούμε χωρίς παραγώγους.
Αν f(x)=f(y) κάνοντας τις πράξεις χρησιμοποιώντας συζηγή παράσταση παίρνουμε παίρνουμε

\sqrt{x^{2}-x-2}+\sqrt{y^{2}-y-2}=-x-y+1(1)

για x\neq y
Για x,y\geq 2
η (1) δεν μπορεί να ισχύει γιατί το αριστερό μέλος είναι μη αρνητικό ενώ το δεξί αρνητικό.

Αν x,y\leqslant -1

τότε επειδή \sqrt{x^{2}-x-2}< -x+\frac{1}{2}
και όμοια για το y δεν μπορεί να ισχύει.
Μένει η περίπτωση x\leq -1< 2\leq y
Είναι τότε
-x-\sqrt{x^{2}-x-2}+1=\sqrt{y^{2}-y-2}+y\geq 2
Η μόνη περίπτωση για να ισχύει η τελευταία είναι
x=-1,y=2
Αλλά f(-1)=-1και f(2)=2
Αρα η f είναι 1-1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες