Ουρανοκατέβατο μέγιστο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10765
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ουρανοκατέβατο μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 17, 2019 7:28 pm

Ουρανοκατέβατο  μέγιστο.png
Ουρανοκατέβατο μέγιστο.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Το σημείο B είναι σταθερό  \left{( }το (0,4) \riht{ )} , ενώ το A κινείται στον ημιάξονα Ox .

Η ευθεία x=-1 τέμνει τον x'x στο T και τη διχοτόμο της \widehat{BAO} στο S .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του TS και την τιμή του a για την οποία επιτυγχάνεται .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ουρανοκατέβατο μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Σεπ 17, 2019 8:11 pm

Καλησπέρα σε όλους.

17-09-2019 Γεωμετρία.jpg
17-09-2019 Γεωμετρία.jpg (42.88 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές


Από την ομοιότητα των AST, AOK είναι  \displaystyle ST = \frac{{a + 1}}{a}OK .

Στο OAB, από Θ. Διχοτόμων είναι  \displaystyle OK = \frac{{OA \cdot OB}}{{OA + AB}} = \frac{{4a}}{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }}

Οπότε  \displaystyle ST = \frac{{4\left( {a + 1} \right)}}{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }} .

Με τη βοήθεια της παραγώγισης βρίσκουμε ότι η συνάρτηση  \displaystyle f\left( a \right) = \frac{{4\left( {a + 1} \right)}}{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }},\;\;a > 0 έχει μέγιστο ίσο με  \displaystyle \frac{17}{8} για  \displaystyle a = \frac{{15}}{2} .


Θα προσπαθήσω για το μέγιστο με Αλγεβρικά εργαλεία.

edit(21:10) Δεν βλέπω κάτι άμεσο με αλγεβρικά εργαλεία πλην της μεθόδους της "πεσούσης δρυός":

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( a \right) = \frac{{4\left( {a + 1} \right)}}{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }},\;\;a > 0 έχει μέγιστο όταν η συνάρτηση  \displaystyle g\left( a \right) = \frac{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }}{{a + 1}},\;\;a > 0 έχει ελάχιστο.

Είναι  \displaystyle \frac{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }}{{a + 1}} = 1 + \frac{{\sqrt {{a^2} + 16}  - 1}}{{a + 1}} \ge \frac{{32}}{{17}}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} + 16}  - 1}}{{a + 1}} \ge \frac{{15}}{{17}} \Leftrightarrow 17\sqrt {{a^2} + 16}  \ge 15a + 32

 \displaystyle  \Leftrightarrow 4{a^2} - 120a + 225 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2a - 15} \right)^2} \ge 0 , που ισχύει με το ελάχιστο για  \displaystyle a = \frac{{15}}{2} .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ουρανοκατέβατο μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 18, 2019 1:42 am

Ουρανοκατέβατο μέγιστο 1.png
Ουρανοκατέβατο μέγιστο 1.png (16.69 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές

Ας είναι K η προβολή του S στην AB . Επειδή y = ST = SK \leqslant SB το μέγιστο επιτυγχάνεται αν το K ταυτιστεί με το B,

Τότε ας είναι C το σημείο τομής των BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT. Θέτω CT = x και ταυτόχρονα θα ισχύουν :
Ουρανοκατέβατο μέγιστο_3.png
Ουρανοκατέβατο μέγιστο_3.png (13.93 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές


\left\{ \begin{gathered} 
  T{A^2} = B{A^2} = B{O^2} + O{A^2} \hfill \\ 
  B{O^2} = OC \cdot OA \hfill \\ 
  \frac{{ST}}{{BO}} = \frac{{CT}}{{CO}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {\left( {a + 1} \right)^2} = B{A^2} = {4^2} + {a^2}\,\,(1) \hfill \\ 
  {4^2} = (x + 1) \cdot a\,\,\,(2) \hfill \\ 
  \frac{y}{4} = \frac{x}{{x + 1}}\,\,(1) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Από την (1) έχω: \boxed{a = \frac{{15}}{2}} έτσι η (2) δίδει : \boxed{x = \frac{{17}}{{15}}}

και η (3) μετά : \boxed{y = S{T_{\max }} = \frac{{17}}{8}}

Παρατήρηση

Στην με αναλυτική Γεωμετρία λύση το S προσδιορίζεται ως τομή ευθείας και παραβολής .

Ουρανοκατέβατο μέγιστο_2.png
Ουρανοκατέβατο μέγιστο_2.png (27.93 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες