Κυκλώστε το τετράγωνο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10689
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κυκλώστε το τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιουν 10, 2019 6:32 pm

Κυκλώστε το τετράγωνο.png
Κυκλώστε το τετράγωνο.png (7.16 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές
Αν σχεδιάζαμε ολόκληρο τον κύκλο του σχήματος θα περνούσε από τα μέσα  M,N των πλευρών AD,DC ,

του τετραγώνου ABCD . Να συγκρίνετε το εμβαδόν του τετραγώνου με το εμβαδόν του λευκού χωρίου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4367
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κυκλώστε το τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Ιουν 10, 2019 8:32 pm

Καλησπέρα σε όλους. Εύχομαι επιτυχία και καλή συνέχεια στα παιδιά που αγωνίζονται στις Πανελλαδικές.


10-06-2019 Γεωμετρία.jpg
10-06-2019 Γεωμετρία.jpg (62.4 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές

Από μετρικές σχέσεις στον κύκλο:

 \displaystyle DN \cdot DC = D{O^2} - {R^2} \Leftrightarrow D{O^2} = \frac{{{a^2}}}{2} + {R^2}

ή από Θεώρημα Διαμέσων στο DOC:

 \displaystyle D{O^2} + C{O^2} = 2N{O^2} + \frac{{D{C^2}}}{2} \Leftrightarrow D{O^2} + {R^2} = 2{R^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow D{O^2} = {R^2} + \frac{{{a^2}}}{2}

Στο DON από Ν. Συνημιτόνων:

 \displaystyle N{O^2} = D{O^2} + D{N^2} - 2DO \cdot DN\sigma \upsilon \nu 45^\circ  \Leftrightarrow {R^2} = D{O^2} + {\frac{a}{4}^2} - DO \cdot a\frac{{\sqrt 2 }}{2} ,

οπότε  \displaystyle {R^2} = {R^2} + {\frac{{3a}}{4}^2} - \sqrt {{R^2} + \frac{{{a^2}}}{2}}  \cdot a\frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow {\frac{{3a}}{4}^2} =  
\sqrt {{R^2} + \frac{{{a^2}}}{2}}  \cdot a\frac{{\sqrt 2 }}{2}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{3a}}{2} = \sqrt {2{R^2} + {a^2}}  \Leftrightarrow {a^2} = \frac{{8{R^2}}}{5} , οπότε  \displaystyle {E_t} = \frac{8}{{5\pi }}{E_c} .

edit: Ο Πρόδρομος είδε ότι απαντάω σε άλλο (πολύ απλούστερο ερώτημα) από αυτό του Θανάση. Τον ευχαριστώ για τη διακριτική υπόδειξη! Λόγω των υποχρεώσεων στο φάκελο των επιμελητών για τις Πανελλαδικές είναι αδύνατο να κάνω παρεμβάσεις απόψε.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4367
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κυκλώστε το τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιουν 12, 2019 8:22 pm

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προσέγγιση στο πρόβλημα του Θανάση, κρατώντας επιφυλάξεις για το αποτέλεσμα.


12-06-2019 Γεωμετρία b.jpg
12-06-2019 Γεωμετρία b.jpg (68.94 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές

Έστω 1 η πλευρά του τετραγώνου.

Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην τομή των μεσοκαθέτων των AM, NC,

άρα είναι  \displaystyle A\left( { - \frac{3}{4},\; - \frac{1}{4}} \right),\;B\left( {\frac{1}{4},\; - \frac{1}{4}} \right),\;C\left( {\frac{1}{4},\;\frac{1}{4}} \right),\;D\left( { - \frac{3}{4},\;\frac{3}{4}} \right) και ο κύκλος έχει ακτίνα  \displaystyle R = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {10} }}{4} , οπότε, ο κύκλος έχει εξίσωση  \displaystyle {x^2} + {y^2} = \frac{5}{8} .

Παρατηρούμε ότι το λευκό χωρίο αποτελείται από δύο χωρία, τα E_1, E_2, των οποίων τα εμβαδά δίνονται από τους τύπους  \displaystyle {E_1} = 2\int_0^{\frac{3}{4}} {\sqrt {\frac{5}{8} - {x^2}} dx}  - \left( {\frac{6}{4} \cdot \frac{1}{4}} \right) και  \displaystyle {E_2} = \int_{\frac{{ - 3}}{4}}^{\frac{1}{4}} {\sqrt {\frac{5}{8} - {x^2}} dx}  - \left( {\frac{1}{4} \cdot 1} \right)

12-06-2019 Γεωμετρία.jpg
12-06-2019 Γεωμετρία.jpg (50.96 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές

Θέτουμε  \displaystyle x = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\eta \mu \theta , οπότε  \displaystyle dx = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\sigma \upsilon \nu \theta d\theta .
Για  \displaystyle x = 0,\;\;\;\theta  = 0 και για  \displaystyle x = \frac{3}{4},\;\;\;\theta  = \tau o\xi \eta \mu \left( {\frac{3}{4}} \right) , οπότε

 \displaystyle {{\rm E}_1} = \frac{5}{4}\int_0^{\tau o\xi \eta \mu \left( {\frac{3}{4}} \right)} {\sqrt {1 - \eta {\mu ^2}\theta }  \cdot \sigma \upsilon \nu \theta d\theta }  - \frac{6}{{16}} = \frac{5}{4}\int_0^{\tau o\xi \eta \mu \left( {\frac{3}{4}} \right)} {\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta d\theta }  - \frac{6}{{16}}

 \displaystyle  = \frac{5}{5}\int_0^{\tau o\xi \eta \mu \left( {\frac{3}{4}} \right)} {\frac{{1 + \sigma \upsilon \nu 2\theta }}{2}d\theta }  - \frac{6}{{16}} = \frac{5}{4}\left[ {\frac{\theta }{2} + \frac{{\eta \mu 2\theta }}{4}} \right]_0^{\tau o\xi \eta \mu \left( {\frac{3}{4}} \right)} - \frac{6}{{16}}

 \displaystyle  = \frac{5}{4}\left( {\frac{{\tau o\xi \eta \mu \left( {\frac{3}{4}} \right)}}{2} + \frac{{\eta \mu \left( {2\tau o\xi \eta \mu \left( {\frac{3}{4}} \right)} \right)}}{4}} \right) - \frac{6}{{16}} \cong 0,593 .

Ομοίως βρίσκουμε και  \displaystyle {{\rm E}_2} = 0,428

Άρα ο λόγος του εμβαδού του λευκού χωρίου προς το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1,021.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10689
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κυκλώστε το τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 12, 2019 8:57 pm

Ας εργασθούμε στο μισό σχήμα :
Κυκλώστε το τετράγωνο.png
Κυκλώστε το τετράγωνο.png (11.05 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4367
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κυκλώστε το τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιουν 14, 2019 9:13 am

Καλημέρα σε όλους. Δεν θα έλεγα ότι βλέπω και φοβερή συμμετοχή στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Θανάση...

Με την υπόδειξη και το σχήμα του Θανάση:


Κυκλώστε το τετράγωνο.png
Κυκλώστε το τετράγωνο.png (11.05 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

Έστω a = 4. Τότε, όπως δείξαμε παραπάνω  \displaystyle R = \sqrt {10} .

Αφού  \displaystyle DB = 4\sqrt 2 , από Θεώρημα Διαμέσων στο DOC:

 \displaystyle D{O^2} + C{O^2} = 2N{O^2} + \frac{{D{C^2}}}{2} \Leftrightarrow D{O^2} + {R^2} = 2{R^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow D{O^2} = {R^2} + \frac{{{a^2}}}{2} = 18 \Rightarrow DO = 3\sqrt 2 ,

οπότε  \displaystyle OB = \sqrt 2 .

Από Ν. Συνημιτόνων στο BOC είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta  = \frac{{O{B^2} + O{C^2} - B{C^2}}}{{2OB \cdot OC}} = \frac{{ - \sqrt 5 }}{5} .

Η απόσταση του O από τη BC είναι  \displaystyle $ 1$ , οπότε (BOC) = 2

Οπότε το εμβαδό του λευκού χωρίου είναι ίσο με

 \displaystyle {\rm E} = 2\frac{{\pi {R^2}\theta ^\circ }}{{360^\circ }} - 2\left( {{\rm B}{\rm O}C} \right) = \frac{{\pi  \cdot \tau o\xi \sigma \upsilon \nu \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)}}{{18^\circ }} - \left( {BOC} \right) \cong 16,344

O λόγος του E προς το ABCD είναι 1,0215.

Παρατηρώ ότι το αποτέλεσμα είναι σχεδόν ίδιο με την προηγούμενη απόπειρα με τη χρήση ολοκληρώματος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8223
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κυκλώστε το τετράγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 14, 2019 10:56 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Παρ Ιουν 14, 2019 9:13 am
Καλημέρα σε όλους. Δεν θα έλεγα ότι βλέπω και φοβερή συμμετοχή στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Θανάση...
Αποφεύγουμε τις κακοτοπιές Γιώργο

\rm{Timeo} \rm{ KARKAR} \rm{ et} \rm{ dona} \rm{ferentem} :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες