Ισοϋπόλοιπο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10755
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισοϋπόλοιπο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 06, 2019 5:55 pm

Ισοϋπόλυπο.png
Ισοϋπόλυπο.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές
Ώρα για κάτι σχετικά εύκολο : Πάνω στο - πλευράς a - τετράγωνο ABCD , τοποθετήσαμε

το ορθογώνιο AECZ , έτσι ώστε το εμβαδόν του τμήματος του τετραγώνου που φαίνεται ,

να ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου . Υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8316
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοϋπόλοιπο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 07, 2019 8:54 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 06, 2019 5:55 pm
Ισοϋπόλυπο.pngΏρα για κάτι σχετικά εύκολο : ...
Τι να πω....png
Τι να πω....png (12.76 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές
Απλούστατο. Από τις εξισώσεις: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{x^2} + {y^2} = 2{a^2}\\ 
\\ 
xy = ak\\ 
\\ 
{\left( {\dfrac{{a(a - k)}}{x}} \right)^2} = {a^2} + {k^2} 
\end{array} \right. εύκολα ( :lol: :lol: :lol: ) προκύπτει ότι:


\boxed{x = a\sqrt {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{3}{{4 - \dfrac{{4\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{3\sqrt {33}  - 13}}}} + \sqrt[3]{{6\sqrt {33}  - 26}}}}} }}}} Το y βγαίνει τώρα με απλή ( :roll: ) αντικατάσταση


ΥΓ. Ακόμα και λάθος να είναι ο τύπος, ποιος έχει τα ψυχικά αποθέματα να το τσεκάρει;


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ισοϋπόλοιπο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιουν 07, 2019 9:52 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιουν 07, 2019 8:54 am

ΥΓ. Ακόμα και λάθος να είναι ο τύπος, ποιος έχει τα ψυχικά αποθέματα να το τσεκάρει;
Γιώργο καλημέρα, κινούμενος σε παράλληλα μονοπάτια κατέληγα, πριν λίγο, σε άκρως διασκεδαστικές εξισώσεις της μορφής

Τι να πεις;.jpg
Τι να πεις;.jpg (120.78 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές

Έλεγα: "Μπα, κάτι κάνω λάθος." Τώρα, όμως, νομίζω ότι λάθος έκανα όταν νόμιζα ότι έκανα λάθος (και τα έσβησα όλα)...

(Όπου x είναι το k με πλευρά a=1).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8316
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοϋπόλοιπο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 07, 2019 11:37 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Παρ Ιουν 07, 2019 9:52 am

Έλεγα: "Μπα, κάτι κάνω λάθος." Τώρα, όμως, νομίζω ότι λάθος έκανα όταν νόμιζα ότι έκανα λάθος (και τα έσβησα όλα)...

Φαίνεται ότι ο KARKAR δοκιμάζει τις αντοχές μας, εν όψει Πανελλαδικών ;)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10755
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισοϋπόλοιπο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιουν 07, 2019 5:31 pm

Κύριοι δεν μίλησα για εύκολο ! Έγραψα σχετικά εύκολο , με το επίρρημα να ομόρριζο

με την σχετικότητα ( του Αινστάιν βεβαίως βεβαίως ) :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ισοϋπόλοιπο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιουν 07, 2019 6:01 pm

Ξαναέγραψα και αναρτώ την προσεγγιστική λύση στην οποία κατέληξα. Δεν κάνω επαλήθευση, ως ένδειξη (σχετικής) διαμαρτυρίας.


Τι να πεις (2);.jpg
Τι να πεις (2);.jpg (76.85 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Έστω b, c οι πλευρές του ορθογωνίου με b \le c,

οπότε  \displaystyle {b^2} + {c^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2} (1).

Έστω KB = d.

Είναι 2(KBC) = (AECZ) οπότε  \displaystyle 2 \cdot \frac{{ad}}{2} = bc \Leftrightarrow ad = bc (2).

Άρα, από (1) και (2) είναι  \displaystyle {\left( {b + c} \right)^2} = 2{a^2} + 2ad \Leftrightarrow b + c = \sqrt {2{a^2} + 2ad}

και  \displaystyle {\left( {b - c} \right)^2} = 2{a^2} - 2ad \Leftrightarrow c - b = \sqrt {2{a^2} - 2ad}

Είναι  \displaystyle \widehat {KAE} = \widehat {{\rm K}C{\rm B}} = \varphi ως συμπληρώματα ίσων γωνιών.

Τότε στο ACE είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi \left( {45^\circ  + \varphi } \right) = \frac{c}{b} \Leftrightarrow \frac{{1 + \varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon \varphi \varphi }} = \frac{c}{b} (3)

και στο KBC είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi \varphi  = \frac{d}{a} (4).

Οπότε, από (3) και (4) είναι  \displaystyle \frac{{a + d}}{{a - d}} = \frac{c}{b} \Leftrightarrow \frac{d}{a} = \frac{{c - b}}{{b + c}}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \frac{d}{a} = \frac{{\sqrt {2{a^2} - 2ad} }}{{\sqrt {2{a^2} + 2ad} }} \Leftrightarrow \frac{{{d^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{2{a^2} - 2ad}}{{2{a^2} + 2ad}}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{{d^2}}}{a} = \frac{{{a^2} - ad}}{{a + d}} \Leftrightarrow a{d^2} + {d^3} = {a^3} - {a^2}d

 \displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {\frac{d}{a}} \right)^3} + {\left( {\frac{d}{a}} \right)^2} + \left( {\frac{d}{a}} \right) - 1 = 0

Από όπου παίρνουμε ρίζα περίπου 0,54369.

Οπότε  \displaystyle d \cong 0,54369a , άρα  \displaystyle b + c = a\sqrt {3,08738}  = 1,042775a και  \displaystyle bc = 0,54369{a^2} .

Οπότε τα b, c είναι ρίζες της εξίσωσης  \displaystyle {x^2} - 1,042775a + 0,54369{a^2} = 0 ,

δηλαδή είναι  \displaystyle b,\;c = \frac{{1,042775 \mp \sqrt {{{1,042775}^2} - 4 \cdot 0,54369} }}{2}a .

(Και να έχει λέει η αλεπού του κάμπου καμία γεωμετρική λύση του λεπτού, να μην έχουμε που να κρυφτούμε...)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες