Smartphone και μέσος χρόνος

[Λάμπρος Κατσάπας]

Έχετε μόλις τελειώσει την ανταλλαγή των δώρων σας. Εσείς και η γυναίκα σας ανοίξατε την ίδια στιγμή το δώρο σας.

Πήρατε από ένα ολοκαίνουργιο smartphone. Αρχίζετε και οι δύο αμέσως να εκτελείτε εργασίες στο διαδίκτυο. Κάθε εργασία

έχει τυχαία διάρκεια, από ένα έως πέντε λεπτά. (Όλες οι εργασίες διαρκούν ακριβώς ένα, δύο, τρία, τέσσερα ή πέντε λεπτά,

με ίση πιθανότητα). Μετά από κάθε εργασία, κάνετε ένα σύντομο time-out. Κατά τη διάρκειά του, θυμάστε ότι εσείς και η

γυναίκα σας πρέπει να δειπνήσετε μαζί με την υπόλοιπη οικογένεια και ότι έχετε υποσχεθεί ο ένας στον άλλο ότι θα πάτε στο

τραπέζι μαζί. Ρωτάτε αν η γυναίκα σας έχει τελειώσει, ώστε να ξεκινήσετε για το δείπνο, αλλά αν αυτή εκτελεί κάποια

εργασία, σας ζητάει χρόνο για να την τελειώσει. Σε αυτή την περίπτωση, ξεκινάτε μια νέα εργασία (και πάλι, θα πάρει ένα,

δύο, τρία, τέσσερα ή πέντε λεπτά ακριβώς, με ίση πιθανότητα). Όταν εκείνη (σε δικό της time-out) σας ρωτήσει αν είστε

έτοιμος για το δείπνο, ενώ είστε ακόμα απασχολημένος, της ζητάτε χρόνο για να τελειώσετε και έτσι αρχίζει κι εκείνη μια νέα

εργασία και ούτω καθεξής. Από την πρώτη στιγμή που ανοίξατε τα δώρα σας, πόσο χρόνο κατά μέσο όρο χρειάζεται για να

βρεθείτε και οι δύο ταυτόχρονα σε time-out, έτσι ώστε να μπορέσετε επιτέλους να πάτε στο δείπνο; (Μπορείτε να υποθέσετε ότι

τα time-out είναι τόσο σύντομα, ώστε η διάρκειά τους να είναι αμελητέα.)

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα σε όλους.

Αν αλλάξουμε κάποιες λέξεις στην πρόταση "θυμάστε ότι εσείς και η γυναίκα σας πρέπει να δειπνήσετε μαζί με την υπόλοιπη οικογένεια και ότι έχετε υποσχεθεί ο ένας στον άλλο ότι θα πάτε στο τραπέζι μαζί", θα μπορούσαμε πολλά να πούμε για τη συσχέτιση της εξέλιξης των νέων τεχνολογιών με το δημογραφικό πρόβλημα της πατρίδας μας κ.λπ. Τέλος πάντων, ο φάκελος δεν το επιτρέπει κι έτσι απαντάμε στο ερώτημα ως έχει.

Κάθε εργασία διαρκεί κατά μέσο όρο λεπτά. Η πιθανότητα να συμπέσουν οι χρόνοι των εργασιών τους είναι , άρα η πιθανότητα να μην συμπέσουν είναι . Οπότε αναμένουμε να συμπέσουν μετά από επαναλήψεις των λεπτών κατά μέσο όρο, δηλαδή σε λεπτά.

Θα ήθελα να δω απάντηση με χρήση μαθηματικών συμβολισμών και τύπων, εν όψει της επικείμενης ενασχόλησής μας με θέματα Διακριτών Μαθηματικών.

[Λάμπρος Κατσάπας]

Οπότε αναμένουμε να συμπέσουν μετά από επαναλήψεις των λεπτών κατά μέσο όρο, δηλαδή σε λεπτά.

Θα ήθελα να δω απάντηση με χρήση μαθηματικών συμβολισμών και τύπων, εν όψει της επικείμενης ενασχόλησής μας με θέματα Διακριτών Μαθηματικών.

Καλημέρα κ.Γιώργο.

Το σκεπτικό είναι στον σωστό δρόμο και παραπέμπει σε γνωστή κατανομή. Μπορούμε λοιπόν να δώσουμε μια απάντηση με

χρήση μαθηματικών συμβολισμών και τύπων, αν και δεν νομίζω ότι αυτό θα συνεισφέρει κάτι περισσότερο στη λύση. Ίσα ίσα θα

την κάνει πιο δυσανάγνωστη παρόλο που εδώ τα πράγματα είναι απλά ή σχεδόν απλά. Ο πραγματικός μέσος χρόνος είναι

μικρότερος από Το πρόβλημα βρίσκεται στο σημειωμένο.

[Demetres]

Βρήκα μέσο χρόνο 9 λεπτά αλλά όχι και τόσο διασκεδαστικές τις πράξεις. (Σύστημα 6 εξισώσεων με 6 αγνώστους.)

[Λάμπρος Κατσάπας]

Βάζω τη λύση μου.

Ονομάζουμε τους παίκτες Α και Β. Αρχικά επιλέγουν αριθμό και οι δύο παίκτες. Αν επιλέξουν τον ίδιο αριθμό το παιχνίδι

τερματίζεται. Διαφορετικά, σύμφωνα με την αρχική εκφώνηση, θα πρέπει ο παίκτης που υπολείπεται σε χρόνο να επιλέξει

εργασία. Θα υποθέσουμε τώρα ότι μόνο ένας από τους δύο, έστω ο Α, θα επιλέγει αριθμό. Αν υπολείπεται σε (αθροιστικό)

χρόνο τότε δεν υπάρχει καμία διαφορά με το αρχικό πρόβλημα. Αν όμως υπερέχει, επιλέγει τυχαία μία εργασία και ο χρόνος

της αφαιρείται από τον συνολικό του χρόνο. Αν συμπέσουν τότε το παιχνίδι τερματίζεται, διαφορετικά επαναλαμβάνεται το

πείραμα. Στο τροποποιημένο πρόβλημα το μόνο που αλλάζει είναι ότι τα βήματα του παίκτη Β προσμετρούνται στα βήματα

του παίκτη Α.

Συμβολίζουμε με την απαριθμήτρια τ.μ. που εκφράζει τον συνολικό αριθμό εργασιών που θα κάνει ο παίκτης Α

μέχρι να τερματιστεί το παιχνίδι. Προφανώς,

(''και οι δύο παίκτες επιλέγουν αρχικά τον ίδιο αριθμό'') =

('' O Α επιλέγει αριθμό ίσο με την απόλυτη τιμή της διαφοράς του χρόνου του από τον χρόνου του Β'')

= και γενικά

Επομένως έχουμε ένα μοντέλο γεωμετρικής κατανομής με πιθανότητα επιτυχίας Είναι .

Άρα στο τροποποιημένο πρόβλημα ο παίκτης Α θα επιλέξει κατά μέσο όρο εργασίες μέχρι να τερματιστεί το παιχνίδι.

Γυρίζοντας πίσω στο αρχικό πρόβλημα, θα πρέπει από αυτές τις 5 εργασίες να αφαιρέσουμε τις εργασίες που αντιστοιχούν

στο παίκτη Β. Το ποσοστό αυτών είναι ίσο με την πιθανότητα αν παρατηρήσουμε κάποια χρονική στιγμή τη διαδικασία να

προηγείται ο παίκτης Α του παίκτη Β , δηλαδή (με πιθανότητα προηγείται ο

παίκτης Β του παίκτη Α και με πιθανότητα οι δύο παίκτες βρίσκονται στην ίδια θέση).

Επομένως, στο αρχικό πρόβλημα ο παίκτης Α θα επιλέξει κατά μέσο όρο εργασίες μέχρι

να τερματιστεί το παιχνίδι. Ο μέσος χρόνος μίας εργασίας είναι (μέση τιμή ομοιόμορφης στο )

και συνεπώς το παιχνίδι τερματίζεται (κατά μέσο όρο) μετά από χρόνο λεπτά.

[Demetres]

Όμορφα! Αυτός είναι και ο σωστός τρόπος να το λύσει κάποιος. Βάζω και τον δικό μου ο οποίος όμως ήθελε περισσότερες πράξεις.

Γράφω για τον προσδοκόμενο χρόνο αν ο ένας επέλεξε αρχικά εργασία με χρόνο . Με συμβολίζω τον ζητούμενοι χρόνο. Είναι απλό να δειχθεί ότι:













Εξηγώ π.χ. το . Αν ο άλλος παίχτης επιλέξει εργασία του ενός λεπτού τότε παίζουν το ίδιο παιγνίδι με τον ένα να ξεκινάει από το και τον άλλο από το . Ο προσδοκόμενος χρόνος για αυτό είναι . Αν κάνει εργασία λεπτών ο χρόνος είναι , για λεπτά είναι , για είναι και για είναι .

Μένει να λυθεί το σύστημα το οποίο παραλείπω. Δεν είναι τόσο άσχημο όσο ακούγεται ως σύστημα 6 εξισώσεων και 6 αγνώστων (υπάρχουν ήδη πολλά μηδενικά στον αντίστοιχο πίνακα) αλλά θέλει λίγο χρόνο και αρκετή προσοχή.