Σχεδόν ... πρόοδος

KARKAR · #1

Δείξτε ότι : $201^{199} < 200^{200} <199^{201}$ . Δείξτε επιπλέον ότι οι τρεις αυτοί αριθμοί

είναι ( στο περίπου

) διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και βρείτε το "λόγο" της .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:05 pm
Δείξτε ότι : $201^{199} < 200^{200} <199^{201}$ . Δείξτε επιπλέον ότι οι τρεις αυτοί αριθμοί

είναι ( στο περίπου ) διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και βρείτε το "λόγο" της .

Από Bernoulli $\displaystyle{ \dfrac {200^{200}}{201^{199}}= 200 \left (1- \dfrac {1}{201}\right ) ^{199}\ge 200 \left (1- \dfrac {199}{201}\right )>1}$ , από όπου η πρώτη.

Λίγο πιο δύσκολη η δεύτερη:

$\displaystyle{ \dfrac {199^{201}}{200^{200}}= 199 \left (1- \dfrac {1}{200}\right ) ^{200} = 199\left ( \left (1- \dfrac {1}{200}\right ) ^{100}\right ) ^2\ge 199 \left (1- \dfrac {100}{200}\right )^2>1}$ , από όπου το ζητούμενο.

Τέλος, υπολογίζοντας με χρήση λογαριθμικών πινάκων τα παραπάνω πηλίκα, βρίσκουμε $\displaystyle{ \dfrac {200^{200}}{201^{199}}\approx 74}$ και $\displaystyle{ \dfrac {199^{201}}{200^{200}}\approx 73}$ δηλαδή "περίπου ίσα".

Edit αργότερα. Διόρθωσα λογιστική αβλεψία.

#3

Ας προσθέσω ότι με ακριβώς τον ίδιο τρόπο δείχνουμε, γενικότερα, ότι

$(x+1)^{x-1} < x^x < (x-1)^{x+1}$

όπου η μεν αριστερή ανισότητα ισχύει για x>1

και η δεξιά για x>5

(αυτό βελτιώνεται κάπως).

Σχεδόν ... πρόοδος

Σχεδόν ... πρόοδος

Re: Σχεδόν ... πρόοδος

Re: Σχεδόν ... πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση