Διάμεσος - τριχοτόμος

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διάμεσος - τριχοτόμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 04, 2019 9:37 am

Διάμεσος - τριχοτόμος.png
Διάμεσος - τριχοτόμος.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
"Κατασκευάστε" το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , στο οποίο η διάμεσος BM

να χωρίζει τη γωνία \hat{B} σε δύο γωνίες , με λόγο 2:1



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διάμεσος - τριχοτόμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 04, 2019 10:18 am

Έχει ήδη απαντηθεί πρόσφατα εδώ.

Θα μπορούσαμε όμως, να "κατασκευάσουμε" ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \widehat A=90^\circ, \widehat B=58^\circ.

Τώρα, τη BM δεν τη λες ακριβώς τριχοτόμο, αλλά λόγω φακέλου δικαιολογείται μία μικρή απόκλιση :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4359
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διάμεσος - τριχοτόμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μάιος 04, 2019 10:27 am

Καλημέρα σε όλους. Μια κατασκευή δίχως καμία βοηθητική. Χρησιμοποιώ το αρχικό σχήμα.


Διάμεσος - τριχοτόμος.png
Διάμεσος - τριχοτόμος.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Έστω ότι κατασκευάστηκε το τρίγωνο.Είναι  \displaystyle 0^\circ  < \theta  < 30^\circ .

Τότε στο ABM είναι  \displaystyle \eta \mu 2\theta  = \frac{{{\rm A}{\rm M}}}{{BM}} και στο BMC είναι

 \displaystyle \frac{{MC}}{{\eta \mu \theta }} = \frac{{BM}}{{\eta \mu C}} \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu \theta }}{{\eta \mu \left( {90^\circ  - 3\theta } \right)}} = \frac{{MC}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu 3\theta }} = \frac{{MC}}{{BM}} ,

οπότε  \displaystyle \eta \mu 2\theta  = \frac{{\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu 3\theta }} \Leftrightarrow 2\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta  = \frac{{\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu 3\theta }} \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu 3\theta  = 1

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \theta \left( {4\sigma \upsilon {\nu ^3}\theta  - 3\sigma \upsilon \nu \theta } \right) = 1 \Leftrightarrow 8\sigma \upsilon {\nu ^4}\theta  - 6\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta  - 1 = 0 ,
οπότε  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta  = \sqrt {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{8}}  \Rightarrow \sigma \upsilon \nu 2\theta  = \frac{{\sqrt {17}  - 1}}{4} .

Στην πλευρά Ay ορθής γωνίας  \displaystyle \widehat {xAy} παίρνουμε σημείο B ώστε AB=1.

Κατασκευάζουμε κύκλο  \displaystyle \left( {B,\;\frac{4}{{\sqrt {17}  - 1}}} \right) που τέμνει την Ax στο M. Προεκτείνουμε την AM κατά ίσο τμήμα MC. Το ABC κατασκευάστηκε.

edit: Δεν είχα δει την παραπομπή του Γιώργου και μού είχε διαφύγει το πρωτομαγιάτικο πρόβλημα, λόγω της αργίας (απεργίας) της Πρωτομαγιάς!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες