Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα

KARKAR · #1

: Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα.png (7.55 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

Είναι φυσικά γνωστό ότι $\sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ . Εδώ όμως ενδιαφερόμαστε για το άθροισμα

$\sin\theta+\cos\phi$ στο τετράγωνο του σχήματος . Το

είναι σημείο στην προέκταση της

.

Δείξτε ότι το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ , ξεπερνά το $\sqrt{2}$ και αν έχετε ισχυρό λογισμικό

και ισχυρή υπομονή , υπολογίστε το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2019 8:39 pm
Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα.pngΕίναι φυσικά γνωστό ότι $\sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ . Εδώ όμως ενδιαφερόμαστε για το άθροισμα

$\sin\theta+\cos\phi$ στο τετράγωνο του σχήματος . Το είναι σημείο στην προέκταση της .

Δείξτε ότι το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ , ξεπερνά το $\sqrt{2}$ και αν έχετε ισχυρό λογισμικό

και ισχυρή υπομονή , υπολογίστε το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ .

: Μέγιστο τριγ.άθροισμα.png (9.63 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }},$ $\displaystyle \tan (\theta + \varphi ) = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{{\frac{1}{{x + 1}} + \tan \varphi }}{{1 - \frac{1}{{x + 1}}\tan \varphi }} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \tan \varphi = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}$

$\displaystyle {\cos ^2}\varphi = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\varphi }} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}}}} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\sqrt {{{({x^2} + x + 1)}^2} + 1} }}$

Άρα, $\boxed{f(x) = \sin \theta + \cos \varphi = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }} + \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\sqrt {{{({x^2} + x + 1)}^2} + 1} }}}$ Τα υπόλοιπα τα κάνει το λογισμικό.

Η

παρουσιάζει για $\boxed{x\simeq 0,441582}$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{\max (\sin \theta + \cos \varphi ) \simeq 1,42329 > \sqrt 2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2019 8:39 pm
Είναι φυσικά γνωστό ότι $\sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ . Εδώ όμως ενδιαφερόμαστε για το άθροισμα

$\sin\theta+\cos\phi$ στο τετράγωνο του σχήματος . Το είναι σημείο στην προέκταση της .

Δείξτε ότι το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ , ξεπερνά το $\sqrt{2}$ και αν έχετε ισχυρό λογισμικό

και ισχυρή υπομονή , υπολογίστε το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ .

Τα ίδια λέω μ' αυτά που έγραψε και ο Γιώργος. Απλά προσθέτω και το γράφημα
της συνάρτησης αυτής

Σχήμα 1

: Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα 1.png (22.52 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2019 8:39 pm
Είναι φυσικά γνωστό ότι $\sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ . Εδώ όμως ενδιαφερόμαστε για το άθροισμα

$\sin\theta+\cos\phi$ στο τετράγωνο του σχήματος . Το είναι σημείο στην προέκταση της .

Δείξτε ότι το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ , ξεπερνά το $\sqrt{2}$ και αν έχετε ισχυρό λογισμικό

και ισχυρή υπομονή , υπολογίστε το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ .

Θα μπορούσαμε να επεκτείνουμε την κίνηση του σημείου $\displaystyle{S}$ , επί όλου του φορέα της πλευράς
$\displaystyle{AB}$ του τετραγώνου και να μελετήσουμε(ασφαλώς με λογισμικό) τη συνολική μεταβολή του
αθροίσματος $\displaystyle{K=sin\theta+cos\phi}$ και με τις γωνίες αυτές οξείες ή το πολύ ορθές. Τότε
το κατωτέρω σχήμα δηλώνει τη μεταβολή αυτή, με δύο τοπικά μέγιστα.

: Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα 3.png (27.74 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα

Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα

Re: Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα

Re: Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα

Re: Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση