Ανιαρή με ενδιαφέρον

KARKAR · #1

: Ανιαρή με ενδιαφέρον.png (7.04 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Οι ημιευθείες Ax , By

είναι ομόρροπες και κάθετες σε τμήμα AB=d

. Σημείο

κινείται στην

,

έτσι ώστε : AS<AB

. Η μεσοκάθετη του

τέμνει τα

στα σημεία P,T

αντίστοιχα .

Υπολογίστε το ελάχιστο του

. Υπάρχει άραγε λύση χωρίς χρήση συντεταγμένων ;

Silver · #2

Θα μπορούσαμε να θέσουμε την γωνία $\widehat{TPB}=\widehat{w}$ και να δουλέψουμε με τριγωνομετρία δημιουργώντας μια σχέση για το ευθύγραμμο τμήμα

συναρτήσει του

. Αν δεν έκανα κάποιο υπολογιστικό λάθος, η ελάχιστη τιμή είναι $\frac{9d}{4\sqrt{3}}$ .

#3

: Ανιαρή με ενδιαφέρον.png (9.78 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

Θέτω: $AS = x \in (0,d)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP = u$ , προφανές PS = PB = d - u

. Από το Π. Θ. στο $\vartriangle APS$ και την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων : $BPT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASB$ έχω:

$\left\{ \begin{gathered} P{S^2} = P{A^2} + A{S^2} \hfill \\ \dfrac{{PT}}{{BS}} = \dfrac{{PB}}{{AS}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} u = \frac{{{d^2} - {x^2}}}{{2d}} \hfill \\ PT = f(x) = \frac{{(d - u)\sqrt {{x^2} + {d^2}} }}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Άρα: $\boxed{f(x) = \frac{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {d^2}} \right)}^3}} }}{{2dx}}}$

που παρουσιάζει ελάχιστο στο $\boxed{{x_0} = \frac{{d\sqrt 2 }}{2}}$ το $\boxed{f({x_0}) = \frac{{3\sqrt 3 d}}{4}}$

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Απρ 18, 2019 7:59 pm Ανιαρή με ενδιαφέρον.pngΟι ημιευθείες είναι ομόρροπες και κάθετες σε τμήμα . Σημείο κινείται στην ,

έτσι ώστε : . Η μεσοκάθετη του τέμνει τα στα σημεία αντίστοιχα .

Υπολογίστε το ελάχιστο του . Υπάρχει άραγε λύση χωρίς χρήση συντεταγμένων ;

Έστω

: Ανιαρή με ενδιαφέρον.png (10.13 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

$\displaystyle \dfrac{{PM}}{{AS}} = \dfrac{{BP}}{{BS}} = \dfrac{{BM}}{{BA}} \Leftrightarrow \dfrac{{PM}}{{\sqrt {4{x^2} - {d^2}} }} = \dfrac{{BP}}{{2x}} = \dfrac{x}{d} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} PM = \dfrac{{x\sqrt {4{x^2} - {d^2}} }}{d}\\ \\ 2{x^2} = d\sqrt {PM \cdot PT} \end{array} \right.$

Από τις σχέσεις αυτές παίρνω $\boxed{f(x)=PT = \dfrac{{4{x^3}}}{{d\sqrt {4{x^2} - {d^2}} }}}$ Η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει

για $\boxed{x=\dfrac{d\sqrt 6}{4}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{P{T_{\min }} = \frac{{3d\sqrt 3 }}{4}}$

Ανιαρή με ενδιαφέρον

Ανιαρή με ενδιαφέρον

Re: Ανιαρή με ενδιαφέρον

Re: Ανιαρή με ενδιαφέρον

Re: Ανιαρή με ενδιαφέρον

Μέλη σε σύνδεση