Αύξων λόγος

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10543
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αύξων λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 15, 2019 1:37 pm

Αύξων  λόγος.png
Αύξων λόγος.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
\bigstar Σημείο S κινείται επί του ύψους AD τριγώνου \displaystyle ABC , από το D προς το A .

Έστω ότι DC=3BD . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SB}{SC} αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του S , για την οποία ο λόγος αυτός γίνεται ίσος με \dfrac{1}{2} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3921
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Αύξων λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μαρ 15, 2019 3:01 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 15, 2019 1:37 pm
Αύξων λόγος.png\bigstar Σημείο S κινείται επί του ύψους AD τριγώνου \displaystyle ABC , από το D προς το A .

Έστω ότι DC=3BD . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SB}{SC} αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του S , για την οποία ο λόγος αυτός γίνεται ίσος με \dfrac{1}{2} .
Το πρόβλημα "προσφέρεται" για αναλυτικοανάλυση :lol:

B\left( -d,0 \right),C\left( 3d,0 \right),S\left( 0,y \right)\Rightarrow f\left( y \right)=\dfrac{{{\left( SB \right)}^{2}}}{{{\left( SC \right)}^{2}}}=\dfrac{{{d}^{2}}+{{y}^{2}}}{9{{d}^{2}}+{{y}^{2}}},y\ge 0 με {f}'\left( y \right)=\dfrac{2y\left( 9{{d}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-2y\left( {{d}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{{{\left( 9{{d}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{16y{{d}^{2}}}{{{\left( 9{{d}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}>0,\forall y>0\Rightarrow f γνησίως αύξουσα στο \left[ 0,+\infty  \right) και επειδή η συνάρτηση \sqrt{x} είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και \sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{SB}{SC} γνησίως αύξουσα

Για να γίνει f\left( y \right)=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{{{d}^{2}}+{{y}^{2}}}{9{{d}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{4}\overset{d>0,y\ge 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,y=d\sqrt{\dfrac{5}{3}}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1783
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Αύξων λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Μαρ 15, 2019 3:54 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 15, 2019 1:37 pm
Αύξων λόγος.png\bigstar Σημείο S κινείται επί του ύψους AD τριγώνου \displaystyle ABC , από το D προς το A .

Έστω ότι DC=3BD . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SB}{SC} αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του S , για την οποία ο λόγος αυτός γίνεται ίσος με \dfrac{1}{2} .
Εστω ότι S'D>SD
Τοτε \dfrac{BS}{SC}=\dfrac{\sqrt{d^{2}+SD^{2}}}{\sqrt{9d^{2}+SD^{2}}},\dfrac{BS'^{2}}{DS'^{2}}=\dfrac{d^{2}+DS'^{2}} {9d^{2}+SD^{2}}, \dfrac{d^{2}+SD^{2}}{9d^{2}+SD^{2}}< \dfrac{d^{2}+DS'^{2}}{9d^{2}+DS'^{2}}\Leftrightarrow DS'>SD


\dfrac{1}{4}=\dfrac{d^{2}+SD^{2}}{9d^{2}+SD^{2}}\Leftrightarrow SD=\dfrac{d\sqrt{5}}{\sqrt{3}}






Γιάννης
Συνημμένα
Αυξων λόγος.png
Αυξων λόγος.png (51.89 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7928
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αύξων λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 15, 2019 4:40 pm

Για το α) ερώτημα.Φέρνω τη διχοτόμο SE της B\widehat SC και έστω DE=x.
Αύξων λόγος.png
Αύξων λόγος.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές
\displaystyle \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{x + d}}{{3d - x}} = f(x)


\displaystyle 0 < {x_1} < {x_2} < 3d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
0 < {x_1} + d < {x_2} + d\\ 
\\ 
3d - {x_1} > 3d - {x_2} \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{{3d - {x_1}}} < \dfrac{1}{{3d - {x_2}}} 
\end{array} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})

Αν υπάρχει λάθος στο σκεπτικό, εντοπίστε το :roll:


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10543
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αύξων λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 15, 2019 8:02 pm

Αύξων  λόγος.png
Αύξων λόγος.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
Γιώργο , πιθανότατα δεν κάνεις λάθος , σίγουρα όμως η λύση που προτείνεις είναι ελλιπής .

Διότι κατά την εκφώνηση αυξάνει το y . Το ότι αυξάνει ταυτόχρονα και το x θέλει απόδειξη .

Φαίνεται πάντως ότι πράγματι έτσι συμβαίνει .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7928
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αύξων λόγος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 15, 2019 8:16 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 15, 2019 8:02 pm
Αύξων λόγος.png Γιώργο , πιθανότατα δεν κάνεις λάθος , σίγουρα όμως η λύση που προτείνεις είναι ελλιπής .

Διότι κατά την εκφώνηση αυξάνει το y . Το ότι αυξάνει ταυτόχρονα και το x θέλει απόδειξη .

Φαίνεται πάντως ότι πράγματι έτσι συμβαίνει .

Σ' ευχαριστώ Θανάση για την άμεση απάντηση. Κάτι δεν μου πήγαινε καλά... δικαιολογημένα, απ' ότι φαίνεται.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11052
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αύξων λόγος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:44 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 15, 2019 1:37 pm
Σημείο S κινείται επί του ύψους AD τριγώνου \displaystyle ABC , από το D προς το A .

Έστω ότι DC=3BD . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SB}{SC} αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του S , για την οποία ο λόγος αυτός γίνεται ίσος με \dfrac{1}{2} .
Ας το δούμε και Τριγωνομετρικά: Αν \angle SBD = \theta , \, \angle SCD = \phi έχουμε αμέσως ότι \tan \theta = 3\tan \phi . Το τετράγωνο του δοθέντα λόγου είναι

\displaystyle{\dfrac {\sin  ^2 \phi }{\sin ^ 2 \theta }= \dfrac {\dfrac {\tan ^2 \phi} {\tan ^2 \phi + 1} }{\dfrac {\tan ^2 \theta} {\tan ^2 \theta + 1 }}=  \dfrac {\dfrac {\tan ^2 \phi} {\tan ^2 \phi + 1} }{\dfrac {9\tan ^2 \phi } {9\tan ^2 \phi  + 1 }}= \dfrac {9 \tan ^2 \phi + 1}{9\tan  ^ 2 \phi + 9 }= \dfrac {9 t ^2  + 1}{9t  ^ 2  + 9} = 1-\dfrac {8}{9t  ^ 2  + 9}}

Είναι τώρα άμεσο ότι καθώς αυξάνει το t, αυξάνει και το δεξί μέλος. Τα υπόλοιπα απλά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης