Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10408
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 14, 2019 9:38 am

Το  λακωνίζειν  εστί  φιλοσοφείν.png
Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν.png (9.78 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές
Το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , έχει κάθετες πλευρές AB=8 και AC=6 .

Επί της διχοτόμου CD κινείται σημείο S . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{SA}{SB} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4267
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μαρ 14, 2019 10:41 am

Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν


Εις το έγκεντρον αδέλφια, εις το έγκεντρον.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7714
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 14, 2019 10:44 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 9:38 am
Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , έχει κάθετες πλευρές AB=8 και AC=6 .

Επί της διχοτόμου CD κινείται σημείο S . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{SA}{SB} .
Το S είναι το έγκεντρο και \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt 5}.


Νομίζω, λόγω τίτλου, ότι δεν χρειάζονται άλλα λόγια :lol:

Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Γιώργος Ρίζος με λιγότερα λόγια.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10408
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 14, 2019 11:30 am

Κύριοι , μιλάμε για μικρό λόγο , όχι για μικρή ( έως ανύπαρκτη ) δικαιολόγηση :lol:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7714
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 14, 2019 1:43 pm

Ας γράψουμε δυο λόγια...
Το λακωνίζειν...png
Το λακωνίζειν...png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow \boxed{y=\frac{3x}{5}} (1) Με Π.Θ στο AES και ν. συνημιτόνων στο BZS:

\displaystyle S{A^2} = 5{y^2} - 24y + 36\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{S{A^2} = \frac{{9{x^2} - 72x + 180}}{5}} και \boxed{S{B^2} = \frac{{9{x^2} - 120x + 500}}{5}}

Εύκολα, \displaystyle \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} \ge \frac{1}{5} \Leftrightarrow 4{(3x - 10)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{SA}}{{SB}} \ge \frac{1}{{\sqrt 5 }}} με την ισότητα να ισχύει για x=\dfrac{10}{3}.

Τότε όμως τα τρίγωνα AES, BZS είναι ισοσκελή και το S έγκεντρο.


Μήπως έγραψα περισσότερα απ' όσα έπρεπε; :?


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4267
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μαρ 14, 2019 8:15 pm

Αναζητώντας, ακόμα την βασιλικήν οδόν προς την Λακωνίαν, μια αναλυτική λύση, που ούτε πολυλογάδικη τη λές, αλλά ούτε και λακωνική.


14-03-2019 Γεωμετρία.png
14-03-2019 Γεωμετρία.png (22.07 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

Παίρνουμε C(0,0), A(6,0), B(6,8).

Είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi C = \frac{4}{3} , οπότε  \displaystyle \frac{{2\varepsilon \varphi \frac{C}{2}}}{{1 - \varepsilon \varphi {{\frac{C}{2}}^2}}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{C}{2} = \frac{1}{2} , (αφού είναι θετικός αριθμός).

Οπότε  \displaystyle S\left( {a,\;\frac{a}{2}} \right),\;\;0 < a < 6 .

Το ελάχιστο του λόγου  \displaystyle \frac{{SA}}{{SB}} προκύπτει όταν έχουμε το μέγιστο του λόγου  \displaystyle \frac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}} .

Είναι  \displaystyle \frac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {6 - a} \right)}^2} + {{\left( {8 - \frac{a}{2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {6 - a} \right)}^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}} = 1 + 8 \cdot \frac{{8 - a}}{{{{\left( {6 - a} \right)}^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}} .

Παρατηρώ ότι το μέγιστο του λόγου  \displaystyle \frac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}} είναι 5.

Πράγματι, είναι  \displaystyle \frac{{8 - a}}{{{{\left( {6 - a} \right)}^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le {a^2} - 8x + 16 \Leftrightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} \ge 0 , που ισχύει όταν a = 4.

Τότε το ελάχιστο του λόγου  \displaystyle \frac{{SA}}{{SB}} είναι  \displaystyle \frac{1}{{\sqrt 5 }} .

ΣΧΟΛΙΟ: Το ότι το ελάχιστο του λόγου συμβαίνει στο έγκεντρο προκύπτει εκ των υστέρων. Μένει να χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα του έγκεντρου ως συστατικό στοιχείο της απόδειξης κι όχι ως απλή παρατήρηση εκ των υστέρων.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες