Το ξαδερφάκι της κουνιάδας

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10386
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το ξαδερφάκι της κουνιάδας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 09, 2019 8:14 am

Για τόξα x του διαστήματος (0,\dfrac{\pi}{4} ] , είναι γνωστό ότι ισχύει : \sin x<\tan x . Ήρθε

η ώρα να εξετάσουμε , αν ισχύει στο ίδιο διάστημα και η : \sin(\tan x)<\tan(\sin x) .

Δεκτές παντός είδους προσεγγίσεις :ewpu: . Δύσμοιρο λογισμικό , τι να πεις κι εσύ :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1623
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Το ξαδερφάκι της κουνιάδας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Μαρ 09, 2019 5:18 pm

Με την εντολή

\text{Plot}\left[\sin (\tan (x))-\tan (\sin (x)),\left\{x,0,\frac{\pi }{350}\right\},\text{PlotRange}\to \left\{-\frac{0.5}{10^{18}},\frac{0.5}{10^{18}}\right\}\right]

έγινε το παρακάτω γράφημα με wolfram mathematica 11 .
sin(tanx)-tan(sinx).png
sin(tanx)-tan(sinx).png (22.28 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
παρατηρούμε ότι δεν ισχύει η υπόθεση σε ένα πολύ μικρό διάστημα υποσύνολο του (0,\dfrac{\pi}{4} ] και η διαφορά είναι μικρότερη του  4 \cdot 10^{-19}


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10946
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το ξαδερφάκι της κουνιάδας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 09, 2019 7:59 pm

Χρήστο, αν καταλαβαίνω καλά λες ότι ο γράφημα της \tan (\sin x)-\sin (\tan x) παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές κοντά στο 0+. Όμως αυτά τα 10^{-19} στο γράφημα του Wolfram προδίδουν σφάλματα στρογγύλευσης όταν οι τιμές είναι πολύ μικρές, και όπου το Wolfram αδυνατεί να κάνει τις πράξεις.

Συγκεκριμένα η σειρά Taylor της εν λόγω συνάρτησης είναι \displaystyle{\frac {x^7}{30} + O(x^9)} που σημαίνει ότι

α) η συνάρτηση για μικρά θετικά x είναι γνήσια θετική,

β) έχει πολύ μικρές τιμές για μικρά x, της τάξης του x^7, και άρα έξω από την προσεγγιστική εμβέλεια του Wolfram.


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 897
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Το ξαδερφάκι της κουνιάδας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Σάβ Μαρ 09, 2019 9:11 pm

Λοιπόν.

f(x) =tan(sinx) -sin(tanx).

f'(x) = \frac{cos^{3}x-cos(tanx)cos^{2}(sinx)}{cos^{2}(sinx)cos^{2}x}

Για τον αριθμητή, από AM-GM

[cos(tanx)cos^{2}(sinx)]^{1/3} \leq \frac{1}{3}[cos(tanx) +2cos(sinx)]

και από Jensen,

\leq cos(\frac{tanx+2sinx}{3})

και το τελευταίο

 \leq cosx

διότι

tanx+2sinx \geq 3x (εύκολο)

και η cosx γνησίως φθίνουσα.

Αρα,

cos^{3}x \geq cos(tanx) cos^{2}(sinx) .

Οπότε, f'(x) \geq 0 \Rightarrow f(x) >0.

Ουφ! Συγγνώμη για την κακή γραφή και παρεμπιπτόντως, η λύση ανήκει στον Σιλουανό Μπραζιτίκο. Σιλουανέ, σε ευχαριστούμε.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες