Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μαρ 04, 2019 12:45 am

Καλή εβδομάδα! Προσωπική κατασκευή , όχι χωρίς αφορμή..
Ο καθηγητής των Μαθηματικών έδωσε στο τμήμα του Μάξιμου το ακόλουθο πρόβλημα
Ο Μάξιμος τα βρίσκει επαρκή.PNG
Ο Μάξιμος τα βρίσκει επαρκή.PNG (6.69 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές
Το ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB=25 cm . Θεωρούμε το σημείο του F με BF=7 cm και το σημείοP του τόξου AF.
(Το σχήμα -ως προς τη θέση του P - δεν είναι κατ'ανάγκη ακριβές)

Φέρουμε FE \perp BP...E \in BP .Αν είναι \left ( EAP \right )=108 cm^{2} , μπορούμε να υπολογίσουμε και το \left ( ABE \right ) ;

Μερικοί συμμαθητές του είπαν ότι μάλλον τα στοιχεία δεν είναι αρκετά ,
όμως ο Μάξιμος ύστερα από σχετική μελέτη ισχυρίστηκε πως βρήκε το ζητούμενο εμβαδόν! Έχει άραγε , δίκιο ο Μάξιμος ή όχι ;

\bigstar Το θέμα αναφέρεται σε μαθητές , ας το αφήσουμε σε "χέρια" μαθητών για 24 ώρες. Ευχαριστώ , Γιώργος



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7682
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 08, 2019 1:43 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Μαρ 04, 2019 12:45 am
Καλή εβδομάδα! Προσωπική κατασκευή , όχι χωρίς αφορμή..
Ο καθηγητής των Μαθηματικών έδωσε στο τμήμα του Μάξιμου το ακόλουθο πρόβλημα
Ο Μάξιμος τα βρίσκει επαρκή.PNG
Το ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB=25 cm . Θεωρούμε το σημείο του F με BF=7 cm και το σημείοP του τόξου AF.
(Το σχήμα -ως προς τη θέση του P - δεν είναι κατ'ανάγκη ακριβές)

Φέρουμε FE \perp BP...E \in BP .Αν είναι \left ( EAP \right )=108 cm^{2} , μπορούμε να υπολογίσουμε και το \left ( ABE \right ) ;

Μερικοί συμμαθητές του είπαν ότι μάλλον τα στοιχεία δεν είναι αρκετά ,
όμως ο Μάξιμος ύστερα από σχετική μελέτη ισχυρίστηκε πως βρήκε το ζητούμενο εμβαδόν! Έχει άραγε , δίκιο ο Μάξιμος ή όχι ;

\bigstar Το θέμα αναφέρεται σε μαθητές , ας το αφήσουμε σε "χέρια" μαθητών για 24 ώρες. Ευχαριστώ , Γιώργος

Έχει δίκιο ο Μάξιμος και είναι (ABE)=42 cm^2. Για να το δούμε όμως αναλυτικά.
Μάξιμος.png
Μάξιμος.png (24.61 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Έστω PA=x, PF=y. Με Πυθαγόρειο βρίσκω AF=24cm και \displaystyle \sin (A\widehat PF) = \sin (90^\circ  + \theta ) = \cos \theta  = \frac{{24}}{{25}}

Επειδή το APFE είναι τραπέζιο, θα είναι \displaystyle (PMF) = (AME) \Rightarrow (PAE) = (PAF) \Leftrightarrow \displaystyle 108 = \frac{1}{2}xy\cos \theta

Άρα, \boxed{xy=225} (1) Ο Πτολεμαίος στο ABFP δίνει: \displaystyle 7x + 25y = 24\sqrt {625 - {x^2}} \mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} 7x + \frac{{5625}}{x} = 24\sqrt {625 - {x^2}}

απ' όπου, x=15cm, οπότε PB=20cm και \displaystyle (AEB) = (PAB) - (PAE) = 150 - 108 \Leftrightarrow \boxed{(ABE)=42 cm^2}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Μαρ 09, 2019 10:50 am

Καλημέρα Γιώργο,

Φέρνω από το P την κάθετη PG στην AF που τέμνει τον κύκλο στο S. Ισχύει ότι (PAE)=(PAF)=108=PG*AF/2\Rightarrow PG=9. Ευκολα έχουμε ότι PS=9+7+9=25 δηλδή PS διάμετρος.
Αρα AG=AF/2=24/2=12\Rightarrow PA=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15
PB=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20\Rightarrow (APB)=20*15/2=150\Rightarrow (AEB)=150-108=42

Αρα ο Μάξιμος έχει δίκιο (και ο Γιώργος ο Βισβίκης όπως πάντα)
Συνημμένα
maximos.png
maximos.png (24.79 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης