Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μαρ 04, 2019 12:45 am

Καλή εβδομάδα! Προσωπική κατασκευή , όχι χωρίς αφορμή..
Ο καθηγητής των Μαθηματικών έδωσε στο τμήμα του Μάξιμου το ακόλουθο πρόβλημα
Ο Μάξιμος τα βρίσκει επαρκή.PNG
Ο Μάξιμος τα βρίσκει επαρκή.PNG (6.69 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές
Το ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB=25 cm . Θεωρούμε το σημείο του F με BF=7 cm και το σημείοP του τόξου AF.
(Το σχήμα -ως προς τη θέση του P - δεν είναι κατ'ανάγκη ακριβές)

Φέρουμε FE \perp BP...E \in BP .Αν είναι \left ( EAP \right )=108 cm^{2} , μπορούμε να υπολογίσουμε και το \left ( ABE \right ) ;

Μερικοί συμμαθητές του είπαν ότι μάλλον τα στοιχεία δεν είναι αρκετά ,
όμως ο Μάξιμος ύστερα από σχετική μελέτη ισχυρίστηκε πως βρήκε το ζητούμενο εμβαδόν! Έχει άραγε , δίκιο ο Μάξιμος ή όχι ;

\bigstar Το θέμα αναφέρεται σε μαθητές , ας το αφήσουμε σε "χέρια" μαθητών για 24 ώρες. Ευχαριστώ , Γιώργος



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7928
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 08, 2019 1:43 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Μαρ 04, 2019 12:45 am
Καλή εβδομάδα! Προσωπική κατασκευή , όχι χωρίς αφορμή..
Ο καθηγητής των Μαθηματικών έδωσε στο τμήμα του Μάξιμου το ακόλουθο πρόβλημα
Ο Μάξιμος τα βρίσκει επαρκή.PNG
Το ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB=25 cm . Θεωρούμε το σημείο του F με BF=7 cm και το σημείοP του τόξου AF.
(Το σχήμα -ως προς τη θέση του P - δεν είναι κατ'ανάγκη ακριβές)

Φέρουμε FE \perp BP...E \in BP .Αν είναι \left ( EAP \right )=108 cm^{2} , μπορούμε να υπολογίσουμε και το \left ( ABE \right ) ;

Μερικοί συμμαθητές του είπαν ότι μάλλον τα στοιχεία δεν είναι αρκετά ,
όμως ο Μάξιμος ύστερα από σχετική μελέτη ισχυρίστηκε πως βρήκε το ζητούμενο εμβαδόν! Έχει άραγε , δίκιο ο Μάξιμος ή όχι ;

\bigstar Το θέμα αναφέρεται σε μαθητές , ας το αφήσουμε σε "χέρια" μαθητών για 24 ώρες. Ευχαριστώ , Γιώργος

Έχει δίκιο ο Μάξιμος και είναι (ABE)=42 cm^2. Για να το δούμε όμως αναλυτικά.
Μάξιμος.png
Μάξιμος.png (24.61 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές
Έστω PA=x, PF=y. Με Πυθαγόρειο βρίσκω AF=24cm και \displaystyle \sin (A\widehat PF) = \sin (90^\circ  + \theta ) = \cos \theta  = \frac{{24}}{{25}}

Επειδή το APFE είναι τραπέζιο, θα είναι \displaystyle (PMF) = (AME) \Rightarrow (PAE) = (PAF) \Leftrightarrow \displaystyle 108 = \frac{1}{2}xy\cos \theta

Άρα, \boxed{xy=225} (1) Ο Πτολεμαίος στο ABFP δίνει: \displaystyle 7x + 25y = 24\sqrt {625 - {x^2}} \mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} 7x + \frac{{5625}}{x} = 24\sqrt {625 - {x^2}}

απ' όπου, x=15cm, οπότε PB=20cm και \displaystyle (AEB) = (PAB) - (PAE) = 150 - 108 \Leftrightarrow \boxed{(ABE)=42 cm^2}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 135
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Μαρ 09, 2019 10:50 am

Καλημέρα Γιώργο,

Φέρνω από το P την κάθετη PG στην AF που τέμνει τον κύκλο στο S. Ισχύει ότι (PAE)=(PAF)=108=PG*AF/2\Rightarrow PG=9. Ευκολα έχουμε ότι PS=9+7+9=25 δηλδή PS διάμετρος.
Αρα AG=AF/2=24/2=12\Rightarrow PA=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15
PB=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20\Rightarrow (APB)=20*15/2=150\Rightarrow (AEB)=150-108=42

Αρα ο Μάξιμος έχει δίκιο (και ο Γιώργος ο Βισβίκης όπως πάντα)
Συνημμένα
maximos.png
maximos.png (24.79 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μαρ 30, 2019 10:01 am

Καλημέρα.Γιώργο, Αλέξανδρε σας ευχαριστώ για τις ωραίες λύσεις!
Λίγα λόγια κυρίως για την πηγή που μου έδωσε την αφορμή για την δημιουργία του παρόντος.

Είναι FE \parallel PA (ως κάθετες στην BP) οπότε - όπως γράφηκε - \left ( EAP \right )=\left ( PAF \right ). Πότε το εμβαδόν αυτό γίνεται Maximum;
Θαυμάσια απάντηση έδωσε ο Σωτήρης Λουρίδας στο θέμα ΤΟΥΤΟ όπου δικαίως απέσπασε και το :clap2: !

Έδωσα λοιπόν την τιμή \left ( EAP \right )=\left ( PAF \right )=108 , μέγιστη για χορδή AF=24 που υποχρεώνει το P να είναι το μέσον του τόξου AF..

Τέλος να πω ότι το όνομα Μάξιμος μόνο .. :) ..τυχαία δεν δόθηκε. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης