Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 28, 2019 9:58 am

Αν σας ζητήσω να βρείτε τρεις θετικούς αριθμούς a,b,c για τους οποίους να ισχύει :

a+b+c=abc , σίγουρα θα βρείτε ένα απλό παράδειγμα και πιθανότατα

θα μπορέσετε να υποδείξετε και έναν τρόπο "παραγωγής" τέτοιων αριθμών .

Μπορείτε όμως να βρείτε τρεις a,b,c για τους οποίους να είναι : a+b+c=abc-2 ;

Αν τώρα σας ζητήσω να υποδείξετε τρόπο "παραγωγής τους" , τα πράγματα περιπλέκονται .

Βρήκα μια τέτοια τριάδα , τους : \dfrac{21}{20} , \dfrac{26}{15} , \dfrac{35}{6} και σας υπόσχομαι ότι υπάρχουν άπειρες :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7682
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 28, 2019 12:28 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 9:58 am
Αν σας ζητήσω να βρείτε τρεις θετικούς αριθμούς a,b,c για τους οποίους να ισχύει :

a+b+c=abc , σίγουρα θα βρείτε ένα απλό παράδειγμα και πιθανότατα

θα μπορέσετε να υποδείξετε και έναν τρόπο "παραγωγής" τέτοιων αριθμών .

Μπορείτε όμως να βρείτε τρεις a,b,c για τους οποίους να είναι : a+b+c=abc-2 ;

Αν τώρα σας ζητήσω να υποδείξετε τρόπο "παραγωγής τους" , τα πράγματα περιπλέκονται .

Βρήκα μια τέτοια τριάδα , τους : \dfrac{21}{20} , \dfrac{26}{15} , \dfrac{35}{6} και σας υπόσχομαι ότι υπάρχουν άπειρες :lol:
Νομίζω ότι η πιο απλή τριάδα είναι (a,b,c)=(1,2,5).

Αν θέσω αυθαίρετες τιμές των a,b στον τύπο \displaystyle c = \frac{{a + b + 2}}{{ab - 1}}, ab\ne 1, προσδιορίζω τον c.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 28, 2019 3:00 pm

Η απάντηση του Γιώργου , αν και ορθή , βρίσκεται πολύ μακριά από το πνεύμα του φακέλου :arrow:

Θα περίμενα μιαν απάντηση , κάπως έτσι : Στο πρώτο ερώτημα : Μια προφανής λύση είναι η (1,2,3)

Για να βρείτε άλλες , σχεδιάστε ένα οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC . Τότε :

\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C .
Άλλοι κλάδοι.png
Άλλοι κλάδοι.png (12.98 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
Στο δεύτερο : Μια προφανής λύση είναι η (1,2,5) . Για να βρείτε άλλες , θέσατε :

a=\dfrac{AS}{SA'} , b=\dfrac{BS}{SB'} , c=\dfrac{CS}{SC'} , στις σεβιανές του σχήματος .

Φυσικά η πρόταση θεωρείται γνωστή , αλλά αν έχετε κουράγιο αποδείξτε τη :(

Το παράδειγμα που σας έδωσα , είναι με τα συγκεκριμένα νούμερα του σχήματος :lol:

Η πρόταση : \dfrac{AS}{SA'}+\dfrac{BS}{SB'} +\dfrac{CS}{SC'} +2 =\dfrac{AS}{SA'} \cdot\dfrac{BS}{SB'} \cdot\dfrac{CS}{SC'}


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 888
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Φεβ 28, 2019 9:52 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 3:00 pm

Φυσικά η πρόταση θεωρείται γνωστή , αλλά αν έχετε κουράγιο αποδείξτε τη :(

....

Η πρόταση : \dfrac{AS}{SA'}+\dfrac{BS}{SB'} +\dfrac{CS}{SC'} +2 =\dfrac{AS}{SA'} \cdot\dfrac{BS}{SB'} \cdot\dfrac{CS}{SC'}
H απόδειξη από τη Φωτεινή Καλδή βρίσκεται παρακάτω
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 12&t=19783


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης