Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 23, 2019 7:23 pm

Δείξτε - χωρίς χρήση υπολογιστικού μέσου ή μιγαδικών αριθμών - ότι :

\sqrt{3}<3e^{-\frac{\pi}{6}} ... ( Ο εκθέτης , αγαπητέ πρεσβύωπα , είναι το -\dfrac{\pi}{6} )



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7682
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 24, 2019 12:11 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 7:23 pm
Δείξτε - χωρίς χρήση υπολογιστικού μέσου ή μιγαδικών αριθμών - ότι :

\sqrt{3}<3e^{-\frac{\pi}{6}} ... ( Ο εκθέτης , αγαπητέ πρεσβύωπα , είναι το -\dfrac{\pi}{6} )
Δεν ξέρω τι μπορεί να θεωρηθεί γνωστό κατά την άποψη του θεματοδότη. Αν π.χ θεωρηθεί γνωστό ότι \displaystyle 1,09 < \ln 3 < 1,1

τότε εύκολα η δοθείσα ανισότητα μετατρέπεται στην \displaystyle \ln 3 > \frac{\pi }{3} που είναι φανερό ότι ισχύει.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 24, 2019 12:57 pm

Γιώργο είναι μια άσκηση ανάλυσης . Ούτε το \sqrt{3} θεωρείται γνωστό :lol:


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 25, 2019 1:12 pm

Θα γράψω τη μισή λύση : Έχουμε : \sqrt{3}<3e^{-\frac{\pi}{6}}\Leftarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<e^{-\frac{\pi}{6}}\Leftarrow \tan\dfrac{\pi}{6}<e^{-\frac{\pi}{6}} .

Τα δύο μέλη της ανισότητας είναι θετικά και λογαριθμίζοντας , έχουμε : \ln(\tan\dfrac{\pi}{6})<-\dfrac{\pi}{6} .

Θεωρώ τώρα τη συνάρτηση : f(x)=\ln(\tan x ), x\in(0,\dfrac{\pi}{2}) ..........................


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 25, 2019 8:01 pm

Ας την τελειώσω : Είναι : f'(x)=\tan x+\dfrac{1}{\tan x} και f''(x)=\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{(\sin x \cos x)^2} .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η f είναι κοίλη στο (0,\dfrac{\pi}{4}] , συνεπώς η C_{f} βρίσκεται

κάτω από την εφαπτομένη της στο A(\dfrac{\pi}{4} ,0) , η οποία επίσης εύκολα βρίσκουμε ότι είναι

η : g(x)=2x-\dfrac{\pi}{2} . Έτσι για x=\dfrac{{\pi}}{6}\in(0,\dfrac{{\pi}}{4}) , είναι : f(\dfrac{{\pi}}{6})<g(\dfrac{{\pi}}{6}) ,

δηλαδή : \ln\tan\dfrac{\pi}{6}<-\dfrac{{\pi}}{6} , που είναι το ζητούμενο :!:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης