Δευτερεύοντα τρίγωνα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10543
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δευτερεύοντα τρίγωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 22, 2019 8:45 pm

Δευτερεύοντα  τρίγωνα.png
Δευτερεύοντα τρίγωνα.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέραμε το ύψος AD , την διχοτόμο AE και την διάμεσο AM .

Αν AB=13 , BD=5 και DE=EM , υπολογίστε το μήκος της AC .

Ισχυρή υπόδειξη : Μην ασχολείστε :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6426
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δευτερεύοντα τρίγωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 22, 2019 9:48 pm

Είναι γνωστό ότι \widehat B - \widehat C = 2\widehat \theta  \Leftrightarrow \widehat C = \widehat B - 2\widehat \theta . Έτσι :

\tan C = \dfrac{{\tan B - \dtan 2\theta }}{{1 + \dtan B\tan 2\theta }}\,\,\,(1) Από την άλλη μεριά \tan C = \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{12}}{{5 + 4x}}\,\,\,(2)
δευτερεύοντα τρίγωνα.png
δευτερεύοντα τρίγωνα.png (19.05 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
Επειδή \left\{ \begin{gathered} 
  \tan B = \dfrac{{12}}{5} \hfill \\ 
  \tan \theta  = \dfrac{x}{{12}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \tan B = \dfrac{{12}}{5} \hfill \\ 
  \tan 2\theta  = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{{24x}}{{144 - {x^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. η (1) δίδει:

\tan C = \dfrac{{\dfrac{{12}}{5} - \dfrac{{24x}}{{114 - {x^2}}}}}{{1 + \dfrac{{12}}{5} \cdot \dfrac{{24x}}{{144 - {x^2}}}}}\,\,(3) . Εξισώνω τα δεύτερα μέλη των (2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3)

και βρίσκω: x = \dfrac{{13\sqrt 2 }}{2} - 5 \Rightarrow a = 26\sqrt 2  - 10 οπότε με νόμο συνημίτονου στο \vartriangle ABC βρίσκω:

\boxed{b = 39 - 10\sqrt 2 }


Χωρίς τριγωνομετρία


Από Θ. διχοτόμων και δεύτερο Θ. διαμέσων στο \vartriangle ABC έχω:
δευτερεύοντα τρίγωνα_new.png
δευτερεύοντα τρίγωνα_new.png (14.05 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{b}{{13}} = \frac{{3x + 5}}{{x + 5}} \hfill \\ 
  {b^2} - {13^2} = 2(5 + 4x)2x \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  b = 39 - 10\sqrt 2  \hfill \\ 
  x = \frac{{13\sqrt 2 }}{2} - 5 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7928
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δευτερεύοντα τρίγωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 23, 2019 12:11 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 22, 2019 8:45 pm
Δευτερεύοντα τρίγωνα.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέραμε το ύψος AD , την διχοτόμο AE και την διάμεσο AM .

Αν AB=13 , BD=5 και DE=EM , υπολογίστε το μήκος της AC .

Ισχυρή υπόδειξη : Μην ασχολείστε :lol:
Παρόμοιο.
Δευτερεύοντα τρίγωνα.png
Δευτερεύοντα τρίγωνα.png (16.35 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Π.Θ στο ADC, \displaystyle {b^2} = 144 + {(4x + 5)^2} \Leftrightarrow \boxed{b^2=16x^2+40x+169} (1) κι επειδή AE διχοτόμος,

\displaystyle A{E^2} = 13b - BE \cdot EC \Leftrightarrow 144 + {x^2} = 13b - (x + 5)(3x + 5) \Leftrightarrow \boxed{b = \frac{{4{x^2} + 20x + 169}}{{13}}} (2)

Από (1) και (2), \boxed{b = 39 - 10\sqrt 2 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης