Δευτερεύοντα τρίγωνα

KARKAR

: Δευτερεύοντα τρίγωνα.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε το ύψος

, την διχοτόμο

και την διάμεσο

.

Αν

,

και

, υπολογίστε το μήκος της

.

Ισχυρή υπόδειξη : Μην ασχολείστε

Είναι γνωστό ότι $\widehat B - \widehat C = 2\widehat \theta \Leftrightarrow \widehat C = \widehat B - 2\widehat \theta$ . Έτσι :

$\tan C = \dfrac{{\tan B - \dtan 2\theta }}{{1 + \dtan B\tan 2\theta }}\,\,\,(1)$ Από την άλλη μεριά $\tan C = \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{12}}{{5 + 4x}}\,\,\,(2)$

: δευτερεύοντα τρίγωνα.png (19.05 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Επειδή $\left\{ \begin{gathered} \tan B = \dfrac{{12}}{5} \hfill \\ \tan \theta = \dfrac{x}{{12}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \tan B = \dfrac{{12}}{5} \hfill \\ \tan 2\theta = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{{24x}}{{144 - {x^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ η (1)

δίδει:

$\tan C = \dfrac{{\dfrac{{12}}{5} - \dfrac{{24x}}{{114 - {x^2}}}}}{{1 + \dfrac{{12}}{5} \cdot \dfrac{{24x}}{{144 - {x^2}}}}}\,\,(3)$ . Εξισώνω τα δεύτερα μέλη των $(2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3)$

και βρίσκω: $x = \dfrac{{13\sqrt 2 }}{2} - 5 \Rightarrow a = 26\sqrt 2 - 10$ οπότε με νόμο συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ βρίσκω:

$\boxed{b = 39 - 10\sqrt 2 }$

Χωρίς τριγωνομετρία

Από Θ. διχοτόμων και δεύτερο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle ABC$ έχω:

: δευτερεύοντα τρίγωνα_new.png (14.05 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{b}{{13}} = \frac{{3x + 5}}{{x + 5}} \hfill \\ {b^2} - {13^2} = 2(5 + 4x)2x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 39 - 10\sqrt 2 \hfill \\ x = \frac{{13\sqrt 2 }}{2} - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 22, 2019 8:45 pm
Δευτερεύοντα τρίγωνα.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο .

Αν , και , υπολογίστε το μήκος της .

Ισχυρή υπόδειξη : Μην ασχολείστε

Παρόμοιο.

: Δευτερεύοντα τρίγωνα.png (16.35 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

Π.Θ στο

$\displaystyle {b^2} = 144 + {(4x + 5)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{b^2=16x^2+40x+169}$ (1)

κι επειδή

διχοτόμος,

$\displaystyle A{E^2} = 13b - BE \cdot EC \Leftrightarrow 144 + {x^2} = 13b - (x + 5)(3x + 5) \Leftrightarrow$ $\boxed{b = \frac{{4{x^2} + 20x + 169}}{{13}}}$ (2)

Από

και

$\boxed{b = 39 - 10\sqrt 2 }$

Δευτερεύοντα τρίγωνα

Δευτερεύοντα τρίγωνα

Re: Δευτερεύοντα τρίγωνα

Re: Δευτερεύοντα τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση