"Ελάχιστο"

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

"Ελάχιστο"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 18, 2019 9:18 pm

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : A(x)=\dfrac{x^6-2x^3+1}{x^4-2x^3+x^2} , x>0

Αν είναι δυνατόν , χωρίς χρήση παραγώγων παρακαλώ :mrgreen:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10944
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: "Ελάχιστο"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 18, 2019 9:50 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 18, 2019 9:18 pm
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : A(x)=\dfrac{x^6-2x^3+1}{x^4-2x^3+x^2} , x>0

Αν είναι δυνατόν , χωρίς χρήση παραγώγων παρακαλώ :mrgreen:
.
Η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστη τιμή αλλά είναι >9 και μπορεί να πλησιάσει αυτή την τιμή όσο κοντά θέλουμε.

Εδώ x\ne 1. Με παραγοντοποίηση των πολυωνύμων εύκολα βλέπουμε ότι η παράσταση ισούται \displaystyle{\left  ( x+ \frac {1}{x} +1 \right  ) ^2 (διόρθωσα ένα πρόσημο εδώ).

Βάζοντας x+ \frac {1}{x} =2+y, όπου y>0 λόγω του περιορισμού, το παραπάνω είναι (3+y)^2= 9+6y+y^2 > 9

Παίρνοντας x\to 1 πλησιάζουμε το φράγμα όσο θέλουμε.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Φεβ 18, 2019 11:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: "Ελάχιστο"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Φεβ 18, 2019 10:05 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 18, 2019 9:18 pm
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : A(x)=\dfrac{x^6-2x^3+1}{x^4-2x^3+x^2} , x>0

Αν είναι δυνατόν , χωρίς χρήση παραγώγων παρακαλώ :mrgreen:

Εκτελούμε τη διαίρεση πολυωνύμων και παίρνουμε

\displaystyle A(x)= x^2+2x+3+\frac{2x^3+3x^2-1}{x^4-2x^3+x^2}= x^2+2x+3+\frac{(x-1)^2(2x+1)}{x^2(x-1)^2}=

\displaystyle x^2+2x+3+\frac{2x+1}{x^2}= x^2+2x+1+ \frac{x^2}{x^2}+\frac{2x+1}{x^2}+1=

\displaystyle (x+1)^2+\frac{(x+1)^2}{x^2}+1\geq 2\sqrt{\frac{(x+1)^4}{x^2}}+1=2\frac{x^2+2x+1}{x}+1=2(x+\frac{1}{x}+2)+1\geq 2(2+2)+1=9.

H ισότητα για x=1 που λόγω περιορισμών δεν πιάνεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης