Μαγικό τετράγωνο 4x4

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4314
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Μαγικό τετράγωνο 4x4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Φεβ 16, 2019 9:25 pm

Στο παρακάτω τετράγωνο 4x4 επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό και διαγράφουμε τους αριθμούς της γραμμής και στήλης στην οποίαν ανήκει. Επαναλαμβάνουμε άλλες τρεις φορές με τους εναπομείναντες αριθμούς (όπως βλέπετε στο παρακάτω παράδειγμα). Προσθέστε τους και αποδείξτε ότι πάντα προκύπτει το ίδιο άθροισμα.


Μαγικό τετράγωνο 4x4.jpg
Μαγικό τετράγωνο 4x4.jpg (30.5 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές



Έχω βρει μια απάντηση. Δεν ξέρω αν είναι η "επίσημη". Θα ήθελα να δω και άλλες ιδέες.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11050
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μαγικό τετράγωνο 4x4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 16, 2019 10:21 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Φεβ 16, 2019 9:25 pm
Στο παρακάτω τετράγωνο 4x4 επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό και διαγράφουμε τους αριθμούς της γραμμής και στήλης στην οποίαν ανήκει. Επαναλαμβάνουμε άλλες τρεις φορές με τους εναπομείναντες αριθμούς (όπως βλέπετε στο παρακάτω παράδειγμα). Προσθέστε τους και αποδείξτε ότι πάντα προκύπτει το ίδιο άθροισμα.

Έχω βρει μια απάντηση. Δεν ξέρω αν είναι η "επίσημη". Θα ήθελα να δω και άλλες ιδέες.
Γιώργο, στα Θερινά Σχολεία για παιδιά που κάνω, διδάσκω κάτι πιο γενικό. Βάζω εκεί τους μαθητές να ανακαλύψουν, με καθοδήγηση, τρεις διαφορετικούς τρόπους απόδειξης και κατασκευής τέτοιων μαγικών πινάκων (οποιασδήποτε διάστασης και οποιουδήποτε μαγικού αθροίσματος).

Επισυνάπτω το κείμενο που τους μοιράζω. Δεν έχει πάρα πολλά λόγια (τα λέω προφορικά) αλλά πιστεύω ότι μπορεί κανείς να βγάλει άκρη.

Με αφορμή το επισυναπτόμενο, κάνουμε και πολλές ωραίες σχετικές ασκήσεις που ενθουσιάζουν τα παιδιά (Δημοτικό, Γυμνάσιο, Λύκειο).

Δεν έχω χρόνο για περισσότερα σχόλια εδώ, τώρα, γιατί έχω ΠΑΡΑ πολύ φόρτο εργασίας, προετοιμάζοντας αυτόν τον καιρό τον διαγωνισμό Καγκουρό.
Συνημμένα
Μαντεύω έναν αριθμό.pdf
(142.73 KiB) Μεταφορτώθηκε 28 φορές


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαγικό τετράγωνο 4x4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Φεβ 16, 2019 10:22 pm

Καλησπέρα!

Βάζουμε συντεταγμένες x,y στους αριθμούς.

Αναγκαστικά και οι τέσσερις αριθμοί βρίσκονται σε διαφορετική στήλη και γραμμή.

Εύκολα βλέπουμε ότι αν a αριθμός του πίνακα τότε a=4x_a-3+y_a-1=4x_4+y_a-4
Όμως αφού στο άθροισμα θα υπάρχουν και οι τέσσερις τιμές του x και του y το άθροισμα θα είναι πάντα το ίδιο και ίσο με S=4\cdot 1-3+4\cdot 2-3+4\cdot 3-3+4\cdot 4-3+1-1+2-1+3-1+4-1=1+5+9+13+0+1+2+3=34

Έβγαζα 32 λόγω λανθασμένων πράξεων
Συνημμένα
33.PNG
33.PNG (15.41 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Δευ Φεβ 18, 2019 8:59 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Μαγικό τετράγωνο 4x4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Κυρ Φεβ 17, 2019 12:28 am

Παλαιότερα έγινε μια συζήτηση στο χώρο αυτό.

Δείτε στο σύνδεσμο:


viewtopic.php?f=19&t=20313&p=102307&hil ... B1#p102307

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4314
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μαγικό τετράγωνο 4x4

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Φεβ 17, 2019 8:57 pm

Σάς ευχαριστώ όλους για τις άμεσες απαντήσεις.

Με το θέμα θα ασχοληθούμε στη Μαθηματική ομάδα του Γυμνασίου μας την Τρίτη 19-2.

Ούτε που θυμόμουν την παρόμοια συζήτηση που μάς υπενθύμισε ο Κώστας.

Η λύση μου στο πρόβλημα που έθεσα είναι κάπως διαφορετική, θα έλεγα απλοϊκή.


Οι αριθμοί της πρώτης στήλης έχουν άθροισμα 28. Όποιους αριθμούς και να επιλέξουμε από κάθε γραμμή, θα βρίσκονται από ένας σε κάθε στήλη, άρα θα απέχουν αθροιστικά από τους αριθμούς της 1ης στήλης 6 μονάδες, άρα θα έχουν πάντα άθροισμα 34.


Θα ξαναδώ τη λύση του Πρόδρομου, γιατί το αποτέλεσμα πρέπει να βγει 34 κι όχι 32.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11050
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μαγικό τετράγωνο 4x4

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 17, 2019 9:16 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 8:57 pm
Οι αριθμοί της πρώτης στήλης έχουν άθροισμα 28. Όποιους αριθμούς και να επιλέξουμε από κάθε γραμμή, θα βρίσκονται από ένας σε κάθε στήλη, άρα θα απέχουν αθροιστικά από τους αριθμούς της 1ης στήλης 6 μονάδες, άρα θα έχουν πάντα άθροισμα 34.
Γιώργο, αυτό που γράφεις είναι ειδική περίπτωση της δεύτερης απόδειξης που έχω για τα μαγικά αυτά τετράγωνα, στο παραπάνω συνημμένο.
Στην γενικότερη περίπτωση που γράφω, οι όροι κάθε στήλης απέχουν σταθερή ποσότητα από τους αντίστοιχους όρους στις διπλανές στήλες (η σταθερά εξαρτάται από τις στήλες). Στο τετράγωνο που παραθέτεις η σταθερή ποσότητα είναι πάντα η ίδια (= 1). Αυτό που μετράει είναι ότι πρόκειται για σταθερή διαφορά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης