Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Φεβ 16, 2019 12:35 am

Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή << Θέματα με ποικιλία λύσεων>> θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.PNG
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.PNG (8.68 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές
Το AD είναι ύψος του τριγώνου ABC με AD=CD=1. Στην προέκταση της BA παίρνουμε AE=AB .

Αν η ED είναι κάθετη στην AC τότε : Να υπολογιστεί ποικιλοτρόπως το (ABC)

Μπορούμε να δείξουμε στον Οδυσσέα ένα ... :) ...ακόμη τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού ;
Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 16, 2019 5:07 am

Αν M μέσο του BD θα είναι AM//DE και άρα το \vartriangle AMC είναι κι αυτό ισοσκελές ορθογώνιο με βάση MC = 2 .
Ο οδυσσέας και  το τρίγωνο.png
Ο οδυσσέας και το τρίγωνο.png (11.9 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές
(ABC) = \dfrac{{BC \cdot AD}}{2} = \dfrac{3}{2} .

Αλλιώς : (ADC) = \dfrac{1}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ADC) = (ADM) = (ABM) . Άρα (ABC) = \dfrac{3}{2}

Αλλιώς: (ABC) = \dfrac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C = \dfrac{1}{2}\sqrt 2  \cdot 3\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{3}{2}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 16, 2019 8:09 am

Εμβαδόν.png
Εμβαδόν.png (10.03 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές
Φέροντας ES\perp BC είναι : BAD=ECS ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7682
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 16, 2019 8:11 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Φεβ 16, 2019 12:35 am
Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή << Θέματα με ποικιλία λύσεων>> θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.PNG
Το AD είναι ύψος του τριγώνου ABC με AD=CD=1. Στην προέκταση της BA παίρνουμε AE=AB .

Αν η ED είναι κάθετη στην AC τότε : Να υπολογιστεί ποικιλοτρόπως το (ABC)

Μπορούμε να δείξουμε στον Οδυσσέα ένα ... :) ...ακόμη τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού ;
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Οδυσσέας.png
Οδυσσέας.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές
\displaystyle  \bullet Φέρνω το ύψος EH του τριγώνου EBC. Είναι EH=HD=2 (το τρίγωνο EHD είναι ορθογώνιο και ισοσκελές)

και BD=DH=2. Άρα \displaystyle (ABC) = \frac{3}{2}

Με πρόλαβε ο Θανάσης...


\displaystyle  \bullet Αλλιώς, \displaystyle (ABC) = (EAC) = (EADC) - (ADC) = 2(ECD) - (ADC) = 2\left( {\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2} \right) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3156
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Φεβ 16, 2019 8:54 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Φεβ 16, 2019 12:35 am
Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή << Θέματα με ποικιλία λύσεων>> θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:

Το AD είναι ύψος του τριγώνου ABC με AD=CD=1. Στην προέκταση της BA παίρνουμε AE=AB .

Αν η ED είναι κάθετη στην AC τότε : Να υπολογιστεί ποικιλοτρόπως το (ABC)

Μπορούμε να δείξουμε στον Οδυσσέα ένα ... :) ...ακόμη τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού ;
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα!
shape.png
shape.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές
Με AD' = AD = 1... :D βρίσκουμε (ABC) = \dfrac{3}{2}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4260
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Φεβ 16, 2019 9:13 am

Καλημέρα σε όλους. Τρεις ακόμα λύσεις. Η πρώτη (γεωμετρική) μιμείται τους προηγηθέντες. Η δεύτερη (με συντεταγμένες) κρύβει επιμελώς τον ίδιο πυρήνα και η τρίτη (τριγωνομετρική), αν και λιγότερο κομψή, δεν χρησιμοποιεί βοηθητικές. Θα πείτε: "και αυτό το βρίσκεις καλό και πρέπον;". "Όχι αναγκαστικά, απλά πειραματιζόμαστε με τις δυνατότητες των εργαλείων".

Γεωμετρική λύση:


16-02-2019 Γεωμετρία.jpg
16-02-2019 Γεωμετρία.jpg (33.67 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές


Είναι  \displaystyle \widehat {EDZ} = 45^\circ άρα EZ=DZ=a. Από Θ. Θαλή για AD//EZ είναι BD = DZ = a. Από την ομοιότητα BAD, BEZ είναι , άρα  \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{3 \cdot 1}}{2} = \frac{3}{2} .


Αναλυτική λύση:


16-02-2019 Γεωμετρία b.jpg
16-02-2019 Γεωμετρία b.jpg (41 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Έστω D(0,0), A(0,1), B(-a, 0), C(1,0), a > 0, οπότε DE:  y = x και αφού AB = AE, θα είναι E(a, a), οπότε, αν Ζ(α, 0) η προβολή του στον x’x, από την ομοιότητα BAD, BEZ είναι  \displaystyle \frac{{EZ}}{{AD}} = \frac{{BZ}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{{2a}}{a} \Leftrightarrow a = 2 , άρα  \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{3 \cdot 1}}{2} = \frac{3}{2}


Τριγωνομετρική λύση:


16-02-2019 Γεωμετρία c.jpg
16-02-2019 Γεωμετρία c.jpg (32.61 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

H  \displaystyle \widehat {EDC} = 45^\circ είναι εξωτερική στο BDE άρα  \displaystyle \widehat B = \varphi ,\;\;\widehat {\rm E} = 45^\circ  - \varphi .

Έστω K μέσο του  \displaystyle AC = \sqrt 2 ,άρα  \displaystyle AK = \frac{{\sqrt 2 }}{2} .

Έστω AB=AE=t. Στο BAD  \displaystyle \eta \mu \varphi  = \frac{1}{t} και στο AEK  \displaystyle \eta \mu \left( {45^\circ  - \varphi } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{2t}}

Οπότε  \displaystyle \frac{1}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\eta \mu \left( {45^\circ  - \varphi } \right)}} \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi  - \eta \mu \varphi } \right) = \sqrt 2 \eta \mu \varphi  \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \varphi  = \frac{1}{2} , οπότε  \displaystyle BD = 2 , άρα  \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{3 \cdot 1}}{2} = \frac{3}{2} .


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1760
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Φεβ 16, 2019 5:47 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Φεβ 16, 2019 12:35 am
Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή << Θέματα με ποικιλία λύσεων>> θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.PNG
Το AD είναι ύψος του τριγώνου ABC με AD=CD=1. Στην προέκταση της BA παίρνουμε AE=AB .

Αν η ED είναι κάθετη στην AC τότε : Να υπολογιστεί ποικιλοτρόπως το (ABC)

Μπορούμε να δείξουμε στον Οδυσσέα ένα ... :) ...ακόμη τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού ;
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Κατασκευάζω το πραλληλόγραμμο BDEH και IA=AJ=IC=\dfrac{\sqrt{2}}{2},JC\perp BH,


Από το εγράψιμο τετράπλευρο ADBJ,CA.CJ=CD.CB\Rightarrow BD=2,BJ=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}


Οπότε (ABC)=\dfrac{1}{2}.3.1=\dfrac{3}{2}


Αλλιώς
(ABC)=\dfrac{1}{2}AC.BJ=\dfrac{3.\sqrt{2}.\sqrt{2}}{4}=\dfrac{3}{2}




Γιάννης
Συνημμένα
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.png
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.png (43.38 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Φεβ 18, 2019 11:59 pm

Καλό βράδυ σε όλους.Να ευχαριστήσω θερμά τους Νίκο, Θανάση, Γιώργο , Μιχάλη , Γιώργο και Γιάννη για τις ωραίες και πολλαπλές λύσεις!

Ακόμη μία : Όπως έδειξε και ο Γιώργος στην εφαρμογή του θέματος ΑΥΤΟΥ ισχύει (με τα γράμματα όπως στο παρόν) BD\cdot DC=2AD^{2} .
Είναι AD=DC=1 συνεπώς BD=2 και (ABC)=3/2 .

Τέλος ας μου επιτραπεί να ..επικαλύψουμε και το παρόν θέμα με λίγο πολύτιμο μέταλλο.
Οδυσσέας 2.PNG
Οδυσσέας 2.PNG (8.06 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές
Στο νέο σχήμα παίρνουμε AZ=1 και M το μέσο του ZE. Αρκεί να υπολογίσουμε τους λόγους \dfrac{BZ}{BD} και \dfrac{AZ}{ZM}...\Phiιλικά , Γιώργος.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Φεβ 22, 2019 3:00 am

Καλημέρα σε όλους.Έλαβα μία ακόμη λύση σε π.μ από τον κ. Γεώργιο Μπάφα τον οποίο και ευχαριστώ!
Προσθέτω το σχήμα και τους σχετικούς συμβολισμούς αποδίδοντας -ελπίζω πιστά- το νόημα της λύσης που έλαβα.
Ο Οδυσσέας ..Λύση Γ. Μπάφα.PNG
Ο Οδυσσέας ..Λύση Γ. Μπάφα.PNG (8.22 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Έστω ED \perp AC . Με το DAC ισοσκελές προκύπτει EC=AE=AB=k . Θέτουμε και BD=x.

Με το Πυθαγόρειο παίρνουμε AC^{2}=2 και k^{2}=x^{2}+1.

Από το α' θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο BCE έχουμε BC^{2}+CE^{2}=2AC^{2}+2AE^{2}\Rightarrow

\left ( x+1 \right )^{2}+k^{2}=2\cdot 2+2k^{2}\Rightarrow \left ( x+1 \right )^{2}=4+x^{2}+1 \Leftrightarrow ..BD=x=2 και τελικά  \left ( ABC \right )=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=\dfrac{3}{2}
Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης