Ισοσκελές σε ισοσκελές

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10876
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισοσκελές σε ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 12, 2019 1:21 pm

Ισοσκελές  σε  ισοσκελές.png
Ισοσκελές σε ισοσκελές.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές
Έχετε χρόνο για ξόδεμα ; Αν ναι , ορίστε ένας τρόπος : Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι :

AB=AC=5 , BC=6 . Έστω O σημείο της AB , ώστε : AO=2 .

Με κέντρο O γράφω κύκλο , ο οποίος τέμνει την AC στο S και την BC στα P,Q ,

από τα οποία το P βρίσκεται πλησιέστερα προς το C . Βρείτε το : (OPS)_{max}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8435
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές σε ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 12, 2019 6:10 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 12, 2019 1:21 pm
Ισοσκελές σε ισοσκελές.pngΈχετε χρόνο για ξόδεμα ; Αν ναι , ορίστε ένας τρόπος : Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι :

AB=AC=5 , BC=6 . Έστω O σημείο της AB , ώστε : AO=2 .

Με κέντρο O γράφω κύκλο , ο οποίος τέμνει την AC στο S και την BC στα P,Q ,

από τα οποία το P βρίσκεται πλησιέστερα προς το C . Βρείτε το : (OPS)_{max}
Δεν θα μπω σε πολλές λεπτομέρειες. Είπαμε, έχουμε χρόνο για ξόδεμα, αλλά όχι απεριόριστο :lol:
Ισοσκελές σε ισοσκελές..png
Ισοσκελές σε ισοσκελές..png (24.55 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές
Με νόμο συνημιτόνων βρίσκω \displaystyle \cos B = \cos C = \frac{3}{5},\cos A = \frac{7}{{25}} \Rightarrow \sin B = \sin C = \frac{4}{5},\sin A = \frac{{24}}{{25}}

\displaystyle (OPS) = (ABC) - \left[ {(BOP) + (SPC)+(AOS) } \right] = 12 - \left( {\frac{{6y}}{5} + \frac{{2(5 - x)(6 - y)}}{5} + \frac{{24x}}{{25}}} \right)

\displaystyle {y^2} + 9 - \frac{{18y}}{5} = O{P^2} = O{S^2} = {x^2} + 4 - \frac{{28x}}{{25}} \Rightarrow y = \frac{1}{5}\left( {9 + \sqrt {25{x^2} - 28x - 44} } \right)

Τελικά παίρνουμε \displaystyle (OPS) = f(x) =  - \frac{2}{{25}}\left( {(x - 2)(9 + \sqrt {25{x^2} - 28x - 44} ) - 18x} \right)

Τα υπόλοιπα με λογισμικό. Για \boxed{x \simeq 2,40452} έχουμε μέγιστη τιμή \boxed{{(OSP)_{\max }} \simeq 2,98474}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες