Άσχετα αθροίσματα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άσχετα αθροίσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 08, 2019 1:32 pm

Άσχετα  αθροίσματα.png
Άσχετα αθροίσματα.png (9.05 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Σε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC με κάθετες πλευρές τις b,c , το AD είναι ύψος

και το M μέσο της AB . Η DM τέμνει την προέκταση της CA στο σημείο S .

Αν SA+SM=b+c , υπολογίστε το λόγο \dfrac{c}{b} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άσχετα αθροίσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 08, 2019 3:35 pm

Έστω b > c , επειδή \boxed{\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}}

Από Θ. Μενέλαου στο \vartriangle ABC με διατέμνουσα \overline {SMD} προκύπτει: \boxed{AS = \frac{{b{c^2}}}{{{b^2} - {c^2}}}}

Θέτω b = cx\,\,,x > 1 και είναι : \left\{ \begin{gathered} 
  u = AS = \frac{{b{c^2}}}{{{b^2} - {c^2}}} \hfill \\ 
  v = SM = \sqrt {{u^2} + \frac{{{c^2}}}{4}}  \hfill \\ 
  v + u = b + c \hfill \\  
\end{gathered}  \right. απ’ αυτές έχω :

\boxed{\frac{{{x^2} + 1}}{{2({x^2} - 1)}} + \frac{x}{{{x^2} - 1}} = x + 1} με δεκτή λύση \boxed{x = \frac{3}{2}} \Rightarrow \boxed{\frac{c}{b} = \frac{2}{3}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7682
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άσχετα αθροίσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 08, 2019 5:26 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 1:32 pm
Άσχετα αθροίσματα.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC με κάθετες πλευρές τις b,c , το AD είναι ύψος

και το M μέσο της AB . Η DM τέμνει την προέκταση της CA στο σημείο S .

Αν SA+SM=b+c , υπολογίστε το λόγο \dfrac{c}{b} .
Προεκτείνω την SM κατά MN=SM=x και έστω AS= y.
Άσχετα αθροίσματα.png
Άσχετα αθροίσματα.png (15.6 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Το SBNA είναι παραλληλόγραμμο και \displaystyle \frac{{BN}}{{SC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{DN}}{{DS}} \Leftrightarrow \frac{y}{{b + y}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{x - \frac{c}{2}}}{{x + \frac{c}{2}}}, απ' όπου

\displaystyle x = \frac{{c({b^2} + {c^2})}}{{2({b^2} - {c^2})}},y = \frac{{b{c^2}}}{{{b^2} - {c^2}}} \Rightarrow b + c = x + y = \frac{{c{{(b + c)}^2}}}{{2({b^2} - {c^2})}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{c}{b}=\frac{2}{3}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες