Κατάλληλη ακτίνα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10543
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κατάλληλη ακτίνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 07, 2019 12:49 pm

Κατάλληλη  ακτίνα.png
Κατάλληλη ακτίνα.png (8.13 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές
Πάνω στην μήκους 2 ακτίνα OT του μεγαλύτερου κύκλου , θεωρούμε σημείο K .

Ο κύκλος (K,KO) τέμνει τον (O) στα σημεία A,B , ενώ η AB τέμνει

την OT στο S . Πόση είναι η ακτίνα του μικρού κύκλου , αν : KS=KT ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7927
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατάλληλη ακτίνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 07, 2019 1:44 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 07, 2019 12:49 pm
Κατάλληλη ακτίνα.pngΠάνω στην μήκους 2 ακτίνα OT του μεγαλύτερου κύκλου , θεωρούμε σημείο K .

Ο κύκλος (K,KO) τέμνει τον (O) στα σημεία A,B , ενώ η AB τέμνει

την OT στο S . Πόση είναι η ακτίνα του μικρού κύκλου , αν : KS=KT ;
Έστω r η ακτίνα και KS=KT=x}
Κατάλληλη ακτίνα.png
Κατάλληλη ακτίνα.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
\displaystyle r = 2 - x,OS = 2 - 2x \Rightarrow OS = 2r - 2

\displaystyle A{O^2} - A{K^2} = O{S^2} - S{K^2} \Leftrightarrow 4 - {r^2} = {(2r - 2)^2} - {x^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x = 2 - r} {r^2} - r - 1 = 0 \Leftrightarrow \boxed{r=\phi}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Φεβ 07, 2019 1:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4314
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κατάλληλη ακτίνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Φεβ 07, 2019 1:46 pm

Καλησπέρα σε όλους.

07-02-2019 Γεωμετρία.png
07-02-2019 Γεωμετρία.png (21 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές

Είναι x^2+y^2=4 η εξίσωση του κύκλου (O, 2), K(a, 0), 0 < a < 2 και ο κύκλος (x-a)^2+y^2 = a^2.

Είναι KT = 2-a, οπότε, αν KS = KT, θα είναι S(2a-2, 0), 1 \le a < 2, αφού αν 0 < a<1, η συνθήκη της ισότητας KS = KT είναι αδύνατη.

Τότε  \displaystyle A{O^2} - O{S^2} = A{K^2} - S{K^2}

 \displaystyle  \Leftrightarrow 4 - {\left( {2a - 2} \right)^2} = {a^2} - {\left( {2 - a} \right)^2}

 \displaystyle  \Leftrightarrow {a^2} - a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1783
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κατάλληλη ακτίνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Φεβ 07, 2019 4:59 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 07, 2019 12:49 pm
Κατάλληλη ακτίνα.pngΠάνω στην μήκους 2 ακτίνα OT του μεγαλύτερου κύκλου , θεωρούμε σημείο K .

Ο κύκλος (K,KO) τέμνει τον (O) στα σημεία A,B , ενώ η AB τέμνει

την OT στο S . Πόση είναι η ακτίνα του μικρού κύκλου , αν : KS=KT ;

Εστω ότι OK=x,SK=KT=2-x,OS=TL=2x-2

Στο ορθογώνιο τρίγωνο OLA,AL^{2}=SL.OL\Rightarrow AL^{2}=4x,(1),

Η LA είναι εφαπτομένη στο κύκλο (O,2)

Συνεπώς

AL^{2}=LT.LP\Rightarrow AL^{2}=(2X-2).2x,(2), (1),(2)\Rightarrow x^{2}-x-1=0\Rightarrow 

    x=\phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}



Γιάννης
Συνημμένα
Κατάλληλη ακτίνα.png
Κατάλληλη ακτίνα.png (69.96 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης