Έχει ουσιαστικά λάθη ;

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Έχει ουσιαστικά λάθη ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 05, 2019 2:48 pm

Βρείτε την παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}^* συνάρτηση f , για την οποία ισχύουν :

f'(x)x^2-f(x)=0,\forall x\in  \mathbb{R}^* και f(1)=\dfrac{1}{e} , f(-1)=e .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ : Είναι : \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x^2} , συνεπώς : (ln(f(x)))'=(-\dfrac{1}{x})' , άρα

f(x)=\left\{\begin{matrix}
e^{-\frac{1}{x}}+c & , x<0\\ 
 e^{-\frac{1}{x}}+c'& , x>0
\end{matrix}\right. , οπότε λαμβάνοντας υπόψη και τις δοθείσες τιμές ,

προκύπτει ότι : f(x)=e^{-\frac{1}{x}} ,\forall x\in  \mathbb{R}^*  .

Σίγουρα θα ισχυρισθεί κάποιος ότι η λύση αυτή περιέχει σοβαρά λάθη !

Αν συμφωνείτε με τον ισχυρισμό , ποια νομίζετε ότι είναι αυτά ;



Λέξεις Κλειδιά:
Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Έχει ουσιαστικά λάθη ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Τρί Φεβ 05, 2019 4:31 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 05, 2019 2:48 pm
Βρείτε την παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}^* συνάρτηση f , για την οποία ισχύουν :

f'(x)x^2-f(x)=0,\forall x\in  \mathbb{R}^* και f(1)=\dfrac{1}{e} , f(-1)=e .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ : Είναι : \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x^2} , συνεπώς : (ln(f(x)))'=(-\dfrac{1}{x})' , άρα

f(x)=\left\{\begin{matrix} 
e^{-\frac{1}{x}}+c & , x<0\\  
 e^{-\frac{1}{x}}+c'& , x>0 
\end{matrix}\right. , οπότε λαμβάνοντας υπόψη και τις δοθείσες τιμές ,

προκύπτει ότι : f(x)=e^{-\frac{1}{x}} ,\forall x\in  \mathbb{R}^*  .

Σίγουρα θα ισχυρισθεί κάποιος ότι η λύση αυτή περιέχει σοβαρά λάθη !

Αν συμφωνείτε με τον ισχυρισμό , ποια νομίζετε ότι είναι αυτά ;
1) Η συγκεκριμένη απάντηση εξετάζει μόνο τα σημεία του πεδίου ορισμού για τα οποία η συνάρτηση δεν είναι 0
2) Στην αντιπαραγώγιση ισχύει \frac{f'(x)}{f(x)}=(ln(|f(x)|))' και όχι (ln(f(x)))'


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Έχει ουσιαστικά λάθη ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Φεβ 07, 2019 1:39 pm

Η συνάρτηση που βρέθηκε , όπως τέλος πάντων βρέθηκε , ικανοποιεί τα δεδομένα άρα είναι μια λύση.
Μένει να δειχτεί ότι δεν υπάρχει άλλη .
Επειδή όμως η εκφώνηση αναφέρει ''...τη συνάρτηση ... '' και όχι ''... όλες τις συναρτήσεις ...'' , δεν βρίσκω ουσιαστικά λάθη .


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης