Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10379
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 01, 2019 1:02 pm

Ταυτόχρονη  ελαχιστοποίηση.png
Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png (9.84 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές AB=8 και AC=6 . Τμήμα ST=4

έχει τα άκρα του στις BC ,  AB . Εξετάστε αν η περίμετρος και το εμβαδόν του ACST

ελαχιστοποιούνται ταυτόχρονα , βρίσκοντας τις ελάχιστες τιμές των δύο μεγεθών .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 01, 2019 4:07 pm

Λήμμα:
ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση_Λήμμα.png
ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση_Λήμμα.png (11.97 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
Αν ένα τρίγωνο BTS διατηρεί τη TS σταθερή και τη γωνία \widehat {TBS} σταθερή , θα διατηρεί και τον κύκλο του σταθερό , οπότε το εμβαδόν του και η περίμετρος του γίνονται μέγιστα όταν το B ταυτιστεί με το μέσο L του τόξου που κινείται αυτό .

Στη άσκηση μας το εμβαδόν και η περίμετρος του τετράπλευρου ATSC γίνονται ελάχιστα εφ’ όσον το εμβαδόν και η περίμετρος του τριγώνου BTS γίνουν μέγιστα

ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png
ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png (17.6 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
Αν M το μέσο του TS έχω :

\tan 2\theta  = \dfrac{3}{4}\, και \tan 2\theta  = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} \Rightarrow \tan \theta  = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{MS}}{{BM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow BM = 6

Κατασκευή

Στη διχοτόμο της γωνίας \widehat {ABC} θεωρώ σημείο M με BM = 6. Φέρνω τη κάθετο στο BM στο M που τέμνει τις BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC\,\, στα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S.

BT = \sqrt {36 + 4}  = 2\sqrt {10}


(BTS) = \dfrac{1}{2}TS \cdot BM = 12 = \dfrac{1}{2}(ABC) και άρα {(ATSC)_{\min }} = 12

Ενώ το τετράπλευρο έχει ελάχιστη περίμετρο :

AT + TS + SC + CA = (8 - 2\sqrt {10} ) + 4 + (10 - 2\sqrt {10} ) + 6 = 28 - 4\sqrt {10}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7682
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 01, 2019 6:11 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 01, 2019 1:02 pm
Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.pngΈνα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές AB=8 και AC=6 . Τμήμα ST=4

έχει τα άκρα του στις BC ,  AB . Εξετάστε αν η περίμετρος και το εμβαδόν του ACST

ελαχιστοποιούνται ταυτόχρονα , βρίσκοντας τις ελάχιστες τιμές των δύο μεγεθών .
Έστω E η προβολή του T στη BC και AT=x, BE=y.
Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png
Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές
\displaystyle 10y = 8(8 - x) \Leftrightarrow y = \frac{{4(8 - x)}}{5} και \displaystyle \frac{{TE}}{6} = \frac{{8 - x}}{{10}} \Leftrightarrow TE = \frac{{3(8 - x)}}{5}

Αλλά, \displaystyle SE = \sqrt {16 - T{E^2}}  = \sqrt {16 - \frac{9}{{25}}{{(8 - x)}^2}}  \Rightarrow \boxed{SB = \frac{{4(8 - x)}}{5} + \frac{1}{5}\sqrt {(3x - 4)(44 - 3x)} }

● Το εμβαδόν είναι \displaystyle E(x) = 24 - (BST) \Leftrightarrow \boxed{E(x) = 24 - \frac{3}{{50}}\left( {4(8 - x) + \sqrt {(3x - 4)(44 - 3x)} } \right)}

● Η περίμετρος είναι \displaystyle P(x) = 10 + x + 10 - SB \Leftrightarrow \boxed{P(x) = \frac{1}{5}\left( {9x + 68 - \sqrt {(3x - 4)(44 - 3x)} } \right)}

Με παραγώγους βρίσκω ότι οι συναρτήσεις E(x), P(x) παρουσιάζουν ελάχιστο για

\boxed{x=8-2\sqrt{10}} ίσο με \boxed{{E_{\min }} = 12} και \boxed{{P_{\min }} = 28 - 4\sqrt {10}} αντίστοιχα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης