Τριχοτόμηση γωνίας 4

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10543
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριχοτόμηση γωνίας 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 31, 2019 1:54 pm

Τριχοτόμηση  γωνίας.png
Τριχοτόμηση γωνίας.png (20.19 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
Σε κύκλο είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD , με BC=4 , CD=7 και στο οποίο είναι :

\widehat{DAC}=2\widehat{BAC}} . Βρείτε την ακτίνα του κύκλου . Αν δεν μπορείτε , δοκιμάστε την : R=\dfrac{16}{\sqrt{15}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6426
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριχοτόμηση γωνίας 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 31, 2019 3:25 pm

Μονοσήμαντος ο κύκλος , άπειρες οι θέσεις του A

[attachment=0]τριχοτόμηση γωνίας 4_2.png[/attachment]
Συνημμένα
τριχοτόμηση γωνίας 4_2.png
τριχοτόμηση γωνίας 4_2.png (36.3 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Ιαν 31, 2019 3:28 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 135
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τριχοτόμηση γωνίας 4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Ιαν 31, 2019 3:26 pm

Φέρνω την μεσοκάθετη της CD που προφανώς είναι διάμετρος του κύκλου και λόγω των γωνιών χωρίζει στην μέση το τόξο CD. Αρα CE=ED=BC=4.
Από Π.Θ. στο \bigtriangleup CFE\rightarrow x=\sqrt{16-49/4}=\sqrt{15}/2.
Από δύναμη του σημείου F: (7/2)^{2}=x(2R-x)\Rightarrow R=16/\sqrt{15}
Συνημμένα
trixotomhsh_4.png
trixotomhsh_4.png (30.61 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7928
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριχοτόμηση γωνίας 4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 01, 2019 12:33 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 31, 2019 1:54 pm
Τριχοτόμηση γωνίας.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD , με BC=4 , CD=7 και στο οποίο είναι :

\widehat{DAC}=2\widehat{BAC}} . Βρείτε την ακτίνα του κύκλου . Αν δεν μπορείτε , δοκιμάστε την : R=\dfrac{16}{\sqrt{15}}
Τριχοτόμηση γωνίας.4.png
Τριχοτόμηση γωνίας.4.png (26.06 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
Επειδή οι γωνίες \widehat B, \widehat D είναι παραπληρωματικές και έχουν το ίδιο ημίτονο, από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ABC, ADC

παίρνω: \displaystyle \frac{4}{{\sin \theta }} = \frac{7}{{\sin 2\theta }} = \frac{7}{{2\sin \theta \cos \theta }} \Leftrightarrow \cos \theta  = \frac{7}{8} και \displaystyle \cos 3\theta  = 4{\cos ^3}\theta  - 3\cos \theta  = \frac{7}{{128}}

Με N. συνημιτόνων στο BCD βρίσκω \displaystyle BD = \frac{{33}}{4} και με τον τύπο του Ήρωνα \displaystyle \frac{{231\sqrt {15} }}{{64}} = (BCD) = \frac{{231}}{{4R}} \Leftrightarrow \boxed{R=\frac{16}{\sqrt{15}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης