Τριχοτόμηση γωνίας 4

KARKAR · #1

: Τριχοτόμηση γωνίας.png (20.19 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Σε κύκλο είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

, με

και στο οποίο είναι :

$\widehat{DAC}=2\widehat{BAC}}$ . Βρείτε την ακτίνα του κύκλου . Αν δεν μπορείτε , δοκιμάστε την : $R=\dfrac{16}{\sqrt{15}}$

#2

Μονοσήμαντος ο κύκλος , άπειρες οι θέσεις του

[attachment=0]τριχοτόμηση γωνίας 4_2.png[/attachment]

Altrian · #3

Φέρνω την μεσοκάθετη της

που προφανώς είναι διάμετρος του κύκλου και λόγω των γωνιών χωρίζει στην μέση το τόξο

. Αρα

.
Από Π.Θ. στο $\bigtriangleup CFE\rightarrow x=\sqrt{16-49/4}=\sqrt{15}/2$ .
Από δύναμη του σημείου

: $(7/2)^{2}=x(2R-x)\Rightarrow R=16/\sqrt{15}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 31, 2019 1:54 pm
Τριχοτόμηση γωνίας.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο , με και στο οποίο είναι :

$\widehat{DAC}=2\widehat{BAC}}$ . Βρείτε την ακτίνα του κύκλου . Αν δεν μπορείτε , δοκιμάστε την : $R=\dfrac{16}{\sqrt{15}}$

: Τριχοτόμηση γωνίας.4.png (26.06 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές

Επειδή οι γωνίες $\widehat B, \widehat D$ είναι παραπληρωματικές και έχουν το ίδιο ημίτονο, από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ABC, ADC

παίρνω: $\displaystyle \frac{4}{{\sin \theta }} = \frac{7}{{\sin 2\theta }} = \frac{7}{{2\sin \theta \cos \theta }} \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{7}{8}$ και $\displaystyle \cos 3\theta = 4{\cos ^3}\theta - 3\cos \theta = \frac{7}{{128}}$

Με N. συνημιτόνων στο BCD

βρίσκω $\displaystyle BD = \frac{{33}}{4}$ και με τον τύπο του Ήρωνα $\displaystyle \frac{{231\sqrt {15} }}{{64}} = (BCD) = \frac{{231}}{{4R}} \Leftrightarrow$ $\boxed{R=\frac{16}{\sqrt{15}}}$

Τριχοτόμηση γωνίας 4

Τριχοτόμηση γωνίας 4

Re: Τριχοτόμηση γωνίας 4

Re: Τριχοτόμηση γωνίας 4

Re: Τριχοτόμηση γωνίας 4

Μέλη σε σύνδεση