Από κάθετη σε υποτείνουσα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10543
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από κάθετη σε υποτείνουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 30, 2019 12:46 pm

Από κάθετη σε υποτείνουσα.png
Από κάθετη σε υποτείνουσα.png (7.51 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
Τμήμα AB διαιρείται με εσωτερικό σημείο του , N , σε λόγο : \dfrac{AN}{NB}=\dfrac{1}{3} .

Θεωρούμε σημείο S της κάθετης στο N , τέτοιο ώστε : \widehat{SAN}=75^0 .

Η κάθετη BT , από το B προς την SA , τέμνει την SN στο σημείο P .

α) Δείξτε ότι SA=BT ... β) Αν ST=2\sqrt{2} , υπολογίστε το τμήμα BP .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7928
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από κάθετη σε υποτείνουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 30, 2019 4:41 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 12:46 pm
Από κάθετη σε υποτείνουσα.pngΤμήμα AB διαιρείται με εσωτερικό σημείο του , N , σε λόγο : \dfrac{AN}{NB}=\dfrac{1}{3} .

Θεωρούμε σημείο S της κάθετης στο N , τέτοιο ώστε : \widehat{SAN}=75^0 .

Η κάθετη BT , από το B προς την SA , τέμνει την SN στο σημείο P .

α) Δείξτε ότι SA=BT ... β) Αν ST=2\sqrt{2} , υπολογίστε το τμήμα BP .
Από κάθετη σε υποτείνουσα.png
Από κάθετη σε υποτείνουσα.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
α) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\sin 75^\circ  = \dfrac{{BT}}{{4a}} \Leftrightarrow BT = a(\sqrt 6  + \sqrt 2 )\\ 
\\ 
\sin 15^\circ  = \dfrac{a}{{SA}} \Leftrightarrow SA = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }} = a(\sqrt 6  + \sqrt 2 ) 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{SA=BT}

β) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
BP \cdot BT = 12{a^2}\\ 
\\ 
AT \cdot AS = 4{a^2} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{BT = AS} \boxed{BP = 3AT = 3x}

\displaystyle \frac{{BN}}{{BP}} = \cos 15^\circ  = \frac{{BT}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{{AS}}{{4a}} \Leftrightarrow 4{a^2} = x(x + 2\sqrt 2 ) \Leftrightarrow \frac{{4{x^2}{{(\sqrt 6  + \sqrt 2 )}^2}}}{{16}} = x(x + 2\sqrt 2 )

\displaystyle x(2 + \sqrt 3 ) = x + 2\sqrt 2  \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + 1}} = \sqrt 6  - \sqrt 2  \Leftrightarrow \boxed{BP=3x=3(\sqrt 6-\sqrt 2)}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6426
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από κάθετη σε υποτείνουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 30, 2019 6:07 pm

α) Αν \,L οι προβολή του \,N\,\, στην AS, θα είναι
( 2 σύνθετα της παραγρ. 5.9 Α λυκείου σχολικό) \left\{ \begin{gathered} 
  NL = \frac{{AS}}{4} \hfill \\ 
  NL = \frac{{BT}}{4}\,\,(ML//BT) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow AS = TB.

Απο κάθετη σε υποτείνουσα.png
Απο κάθετη σε υποτείνουσα.png (26.22 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
β) Αν θέσω : x = BT\,,\,\,d = 2\sqrt 2 \,\,\,,\,\,u = TP = d\tan 15^\circ \,\,,v = TA = (u + x)\tan 15^\circ

Επειδή d + v = u + x θα προκύψει:

\boxed{x = d\left( {\frac{1}{{1 - \tan 15^\circ }} - \tan 15^\circ } \right) = 3\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης