Μη παράλληλες

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10868
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μη παράλληλες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 29, 2019 8:32 pm

Μη  παράλληλες.png
Μη παράλληλες.png (5.98 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές
Τραπέζιο έχει σταθερών μηκών βάσεις και ύψος αλλά η μία βάση του μπορεί να μετακινείται .

Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να υπολογίζει το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών .

Βρείτε το ελάχιστο αυτής της ποσότητας . Για απλότητα : BC=9 , AD=6 ,  DD'=4 .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11486
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη παράλληλες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 29, 2019 9:22 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 29, 2019 8:32 pm
Μη παράλληλες.pngΤραπέζιο έχει σταθερών μηκών βάσεις και ύψος αλλά η μία βάση του μπορεί να μετακινείται .

Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να υπολογίζει το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών .

Βρείτε το ελάχιστο αυτής της ποσότητας . Για απλότητα : BC=9 , AD=6 ,  DD'=4 .
Αν AD=a, \, BC=b, \, DD'=h, \, D'C=x τότε (άμεσο) CD+AB = \sqrt {h^2+x^2} + \sqrt {h^2+ (b-a-x)^2} .

Από την ανισότητα (απλή και γνωστή, ισοδύναμη της Cauchy-Schwarz)  \sqrt {p^2+q^2} + \sqrt {r^2+ s^2} \ge  \sqrt {(p+r)^2+ (q+s)^2} με ισότητα αν και μόνον αν ps=rq η παραπάνω παράσταση είναι \ge \sqrt  {(2h)^2+ (b-a)^2} με ισότητα αν x=(b-a)/2.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1677
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μη παράλληλες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιαν 30, 2019 12:59 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 29, 2019 8:32 pm
Μη παράλληλες.pngΤραπέζιο έχει σταθερών μηκών βάσεις και ύψος αλλά η μία βάση του μπορεί να μετακινείται .

Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να υπολογίζει το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών .

Βρείτε το ελάχιστο αυτής της ποσότητας . Για απλότητα : BC=9 , AD=6 ,  DD'=4 .

Αλλιώς για το (β)

Με \displaystyle DE//AB \Rightarrow BE = 6,EC = 3

Το τρίγωνο \displaystyle DEC έχει σταθερή βάση \displaystyle EC και σταθερό προς αυτή ύψος.

Επομένως,η περίμετρός του \displaystyle \left( {x{\text{ }} + {\text{ }}y{\text{ }} + {\text{ }}3} \right)](άρα και το \displaystyle x + y)γίνεται ελάχιστη όταν είναι ισοσκελές(γιατί?)

Τότε όμως το τραπέζιο θα είναι ισοσκελές και \displaystyle EZ = \frac{3}{2},άρα \displaystyle x = \frac{{\sqrt {73} }}{2} \Rightarrow \boxed{{{\left( {x + y} \right)}_{\min }} = \sqrt {73} }
μη παράλληλες.png
μη παράλληλες.png (7.85 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: STOPJOHN και 2 επισκέπτες