Μέγιστη εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Μέγιστη εφαπτομένη.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

Σημείο

κινείται στον αριστερό κλάδο της παραβολής $y=-\dfrac{1}{4}x^2+4$ . Αν A,A'

και

είναι οι τομές της καμπύλης με τους άξονες , βρείτε τη μέγιστη τιμή της $tan\theta$ , $(\theta=\widehat{TSA})$

#2

: Μέγιστη εφαπτομένη_αναλυτική.png (22.93 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

Ας πούμε $S(2s,4 - {s^2})$ τότε : $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {\lambda _2} = {\lambda _{\overrightarrow {ST} }} = - \frac{s}{2} \hfill \\ {\lambda _1} = {\lambda _{\overrightarrow {SA} }} = - \frac{{s + 2}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\boxed{\tan \theta = \frac{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{{1 + {\lambda _1}{\lambda _2}}} = \frac{4}{{{s^2} + 2s + 4}}}$ το τριώνυμο $g(s) = {s^2} + 2s + 4$ γίνεται ελάχιστο

Αν $\displaystyle \boxed{s = \frac{{ - 2}}{2} = - 1\,\,}$ και τότε $\boxed{\tan \theta = \frac{4}{3}}$ που θα είναι η μέγιστη τιμή της .

Με εστία το προβάλλεται (σ αυτή τη περίπτωση ) στο κατακόρυφο άξονα στην εστία .

Altrian · #3

Το τρίγωνο $\large \bigtriangleup SAT$ εγγράφεται σε κύκλο μεταβλητής ακτίνας $\large r$ αναλόγως της θέσης του $\large S$ , αλλά με σταθερή χορδή $\large AT$ στο οποίο βαίνει η $\large \angle \theta$ .
Αρα $\large min(r)\Rightarrow max(\theta)$ . Ο ελάχιστος κύκλος προκύπτει όταν εφάπτεται στην $\large f(x), x< 0$ .
Κάθε κύκλος έχει το κέντρο του στην μεσοκάθετη της $\large AT$ δηλ. στην $\large g(x)=x$ δηλ. με κλίση $\large 1$ Η ακτίνα του ελάχιστου κύκλου που διέρχεται από το $\large S$ είναι κάθετη στην $\large g(x)=x$ (ως ελάχιστη). Η εφαπτομένη της $\large f(x)$ στο ζητούμενο $\large S$ $\large (x_{s},y_{s})$ είναι κάθετη στην ακτίνα δηλ. έχει κλίση $\large 1$
$\large f{'}\left ( x_{s} \right )=1\Rightarrow -x_{s}/2=1\Rightarrow x_{s}=-2\Rightarrow y_{s}=3\Rightarrow S=\left ( -2,3 \right )$

$\large \overrightarrow{ST}=(2,1), \overrightarrow{SA}=(6,-3)\Rightarrow cos\theta=\frac{\overrightarrow{ST}*\overrightarrow{SA}}{\left |\overrightarrow{ST} \right |\left | \overrightarrow{SA} \right |} =\frac{3}{5}\Rightarrow tan\theta=\frac{4}{3}$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Μέγιστη εφαπτομένη

Μέγιστη εφαπτομένη

Re: Μέγιστη εφαπτομένη

Re: Μέγιστη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση