mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 12, 2019 9:13 am**

: Ο καημός του θεματοδότη.png (9.9 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : AB=5 , AC=9

. Στην πλευρά

θεωρούμε

σημείο

, έτσι ώστε : AS=d

. Δεν είναι απαραίτητο να απαντήσετε σε όλα τα παρακάτω ερωτήματα .

α) Σχεδιάστε κύκλο διερχόμενο από τα A,S

και εφαπτόμενο της

. Υπολογίστε την ακτίνα του .

β) Βρείτε εκείνη τη θέση του

, για την οποία ο κύκλος αυτός έχει την ελάχιστη ακτίνα .

γ) Αν ο κύκλος τέμνει την

στο

, για ποια θέση του

προκύπτει : AP=AS

;

Σύγχρονη τεχνολογική βοήθεια επιτρεπτή

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 12, 2019 10:50 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:13 am
Ο καημός του θεματοδότη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : . Στην πλευρά θεωρούμε

σημείο , έτσι ώστε : . Δεν είναι απαραίτητο να απαντήσετε σε όλα τα παρακάτω ερωτήματα .

α) Σχεδιάστε κύκλο διερχόμενο από τα και εφαπτόμενο της . Υπολογίστε την ακτίνα του .

β) Βρείτε εκείνη τη θέση του , για την οποία ο κύκλος αυτός έχει την ελάχιστη ακτίνα .

γ) Αν ο κύκλος τέμνει την στο , για ποια θέση του προκύπτει : ;

Σύγχρονη τεχνολογική βοήθεια επιτρεπτή

: Ο καημός του KARKAR.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές

α) Κατασκευή: Γράφω τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα A, S

και φέρνω σε αυτόν το εφαπτόμενο τμήμα BQ.

Στη συνέχεια

γράφω τον κύκλο (B, BQ)

που τέμνει την

στο

Ο περίκυκλος του AST

είναι ο ζητούμενος κύκλος.

$\displaystyle B{T^2} = BS \cdot BA \Leftrightarrow$ $\boxed{BT = \sqrt {25 - 5d}}$ (1)

και $\displaystyle C{T^2} = CP \cdot CA \Leftrightarrow {(\sqrt {106} - BT)^2} = 9(9 - AP)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\boxed{AP = \frac{{81 - {{\left( {\sqrt {106} - \sqrt {25 - 5d} } \right)}^2}}}{9}}$ και με Πυθαγόρειο στο APS

όπου

παίρνω:

$\boxed{ r = \frac{{\sqrt {81{d^2} + {{\left( {81 - {{(\sqrt {106} - \sqrt {25 - 5d} )}^2}} \right)}^2}} }}{{18}}}$

β) $\displaystyle 2r \ge AT,$ άρα έχουμε ελάχιστη ακτίνα όταν τα σημεία A, K, T

είναι συνευθειακά, δηλαδή το

είναι ύψος του τριγώνου.

Τότε, $\displaystyle A{T^2} = A{B^2} - B{T^2} \Leftrightarrow 4{r^2} = 5d,$ απ' όπου παίρνω $\boxed{d = \frac{{405}}{{106}}}$ και $\boxed{{r_{\min }} = \frac{{45\sqrt {106} }}{{212}}}$

γ) $\displaystyle 2{d^2} = 4{r^2}$ και αντκαθιστώντας στον γενικό τύπο $\boxed{d = \frac{{45\sqrt {53} - 315}}{4}}$

mathematica.gr

Ο καημός του θεματοδότη

Ο καημός του θεματοδότη

Re: Ο καημός του θεματοδότη