Ο καημός του θεματοδότη

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10386
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ο καημός του θεματοδότη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:13 am

Ο  καημός  του θεματοδότη.png
Ο καημός του θεματοδότη.png (9.9 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι : AB=5 , AC=9 . Στην πλευρά AB θεωρούμε

σημείο S , έτσι ώστε : AS=d . Δεν είναι απαραίτητο να απαντήσετε σε όλα τα παρακάτω ερωτήματα .

α) Σχεδιάστε κύκλο διερχόμενο από τα A,S και εφαπτόμενο της BC . Υπολογίστε την ακτίνα του .

β) Βρείτε εκείνη τη θέση του S , για την οποία ο κύκλος αυτός έχει την ελάχιστη ακτίνα .

γ) Αν ο κύκλος τέμνει την AC στο P , για ποια θέση του S προκύπτει : AP=AS ;

Σύγχρονη τεχνολογική βοήθεια επιτρεπτή :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7689
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο καημός του θεματοδότη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 12, 2019 10:50 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:13 am
Ο καημός του θεματοδότη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι : AB=5 , AC=9 . Στην πλευρά AB θεωρούμε

σημείο S , έτσι ώστε : AS=d . Δεν είναι απαραίτητο να απαντήσετε σε όλα τα παρακάτω ερωτήματα .

α) Σχεδιάστε κύκλο διερχόμενο από τα A,S και εφαπτόμενο της BC . Υπολογίστε την ακτίνα του .

β) Βρείτε εκείνη τη θέση του S , για την οποία ο κύκλος αυτός έχει την ελάχιστη ακτίνα .

γ) Αν ο κύκλος τέμνει την AC στο P , για ποια θέση του S προκύπτει : AP=AS ;

Σύγχρονη τεχνολογική βοήθεια επιτρεπτή :lol:
Ο καημός του KARKAR.png
Ο καημός του KARKAR.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
α) Κατασκευή: Γράφω τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα A, S και φέρνω σε αυτόν το εφαπτόμενο τμήμα BQ. Στη συνέχεια

γράφω τον κύκλο (B, BQ) που τέμνει την BC στο T. Ο περίκυκλος του AST είναι ο ζητούμενος κύκλος.

\displaystyle B{T^2} = BS \cdot BA \Leftrightarrow \boxed{BT = \sqrt {25 - 5d}} (1) και \displaystyle C{T^2} = CP \cdot CA \Leftrightarrow {(\sqrt {106}  - BT)^2} = 9(9 - AP)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)}

\boxed{AP = \frac{{81 - {{\left( {\sqrt {106}  - \sqrt {25 - 5d} } \right)}^2}}}{9}} και με Πυθαγόρειο στο APS όπου PS=2r παίρνω:

\boxed{ r = \frac{{\sqrt {81{d^2} + {{\left( {81 - {{(\sqrt {106}  - \sqrt {25 - 5d} )}^2}} \right)}^2}} }}{{18}}}

β) \displaystyle 2r \ge AT, άρα έχουμε ελάχιστη ακτίνα όταν τα σημεία A, K, T είναι συνευθειακά, δηλαδή το AT είναι ύψος του τριγώνου.

Τότε, \displaystyle A{T^2} = A{B^2} - B{T^2} \Leftrightarrow 4{r^2} = 5d, απ' όπου παίρνω \boxed{d = \frac{{405}}{{106}}} και \boxed{{r_{\min }} = \frac{{45\sqrt {106} }}{{212}}}

γ) \displaystyle 2{d^2} = 4{r^2} και αντκαθιστώντας στον γενικό τύπο \boxed{d = \frac{{45\sqrt {53}  - 315}}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης