Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10406
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 11, 2019 7:24 pm

Τριήμερο.png
Τριήμερο.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , επιλέξτε σημείο S της AC , ώστε : CB+BS=AS



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6279
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 7:59 pm

Η BS μάλλον είναι η διχοτόμος αλλά δεν το απέδειξα ακόμη γιατί έχω και άλλες δουλειές .


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Ιαν 11, 2019 8:22 pm

Η κατασκευή του σημείου δίνεται στο συνημμένο σχήμα.
Συνημμένα
ασκηση KARKAR.png
ασκηση KARKAR.png (61.84 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές
τελευταία επεξεργασία από Ανδρέας Πούλος σε Παρ Ιαν 11, 2019 9:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10966
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 11, 2019 8:40 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 7:59 pm
Η BS μάλλον είναι η διχοτόμος αλλά δεν το απέδειξα ακόμη γιατί έχω και άλλες δουλειές .
Σωστά.

Γράφουμε γωνία \angle ABD =10 ^o και BS διχοτόμος. Τα υπόλοιπα άμεσα από το σχήμα. Τότε αν AB=a, είναι BC= 2a \sin 10 (άμεσο). Επίσης από τον νόμο των ημιτόνων στο ABS είναι AD:\sin 10 = a:\sin 150= 2a, άρα BC=2a\sin 10 = AD. Οπότε AS=AD+DS=BC+BS.
Συνημμένα
athroisma 2.png
athroisma 2.png (14.2 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4267
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η ανακάλυψη του τριημέρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 11, 2019 8:59 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ο Νίκος έχει δίκιο. Δίνω μια απόδειξη με μια Τριγωνομετρική Πανδαισία που τρομάζει ακόμα και τους πιο πωρωμένους, όπως ο υπογράφων...



Έστω  \displaystyle \widehat {ABS} = \varphi  \Rightarrow \widehat {SBC} = 80^\circ  - \varphi

Στο ABS είναι  \displaystyle AS = 2R\eta \mu \varphi και  \displaystyle BS = 2R\eta \mu 20^\circ

Στο SBC είναι  \displaystyle \frac{{CB}}{{\eta \mu \left( {160^\circ  - \varphi } \right)}} = \frac{{BS}}{{\eta \mu 80^\circ }} \Leftrightarrow CB = BS \cdot \frac{{\eta \mu \left( {20^\circ  + \varphi } \right)}}{{\sigma \upsilon \nu 10^\circ }}

Οπότε  \displaystyle BS + CB = AS \Leftrightarrow \eta \mu 20^\circ  + \frac{{\eta \mu 20^\circ  \cdot \eta \mu \left( {20^\circ  + \varphi } \right)}}{{\sigma \upsilon \nu 10^\circ }} = \eta \mu \varphi

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ  \cdot \eta \mu \left( {20^\circ  + \varphi } \right) = \eta \mu \varphi  - \eta \mu 20^\circ

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ  \cdot 2\eta \mu \left( {10^\circ  + \frac{\varphi }{2}} \right)\sigma \upsilon \nu \left( {10^\circ  + \frac{\varphi }{2}} \right) = 2\eta \mu \left( {\frac{\varphi }{2} - 10^\circ } \right)\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\varphi }{2} + 10^\circ } \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ  \cdot \eta \mu \left( {10^\circ  + \frac{\varphi }{2}} \right) = \eta \mu \left( {\frac{\varphi }{2} - 10^\circ } \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ  \cdot \eta \mu \left( {10^\circ  + \frac{\varphi }{2}} \right) = 2\eta \mu 30^\circ  \cdot \eta \mu \left( {\frac{\varphi }{2} - 10^\circ } \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\varphi }{2} - \sigma \upsilon \nu \left( {20^\circ  + \frac{\varphi }{2}} \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {40^\circ  - \frac{\varphi }{2}} \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {20^\circ  + \frac{\varphi }{2}} \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\varphi }{2} = \sigma \upsilon \nu \left( {40^\circ  - \frac{\varphi }{2}} \right) , η οποία στο διάστημα  \displaystyle \left( {0^\circ ,80^\circ } \right) έχει μοναδική λύση  \displaystyle \varphi  = 40^\circ .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4267
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 11, 2019 9:09 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 8:22 pm
Η κατασκευή του σημείου δίνεται στο συνημμένο σχήμα.
ασκηση KARKAR.png
ασκηση KARKAR.png (55.69 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

Ανδρέα
καλησπέρα. Δεν ξέρω αν απευθύνεσαι στους νεότερους, αλλά εμείς οι 50 plus αρχίζουμε να μην διακρίνουμε καθαρά τις λεπτομέρειες σε σχήματα όπως το συνημμένο! :P


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6279
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 9:38 pm

Φέρνω τη διχοτόμο BS και θέτω: AB = AC = b\,\,,\,\,BS = y,\,\,AS = x\,\,,\,\,SC = z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = a. Αρκεί να δείξω ότι x = a + y\,\,\,(1) έχω :
Η ανακάλυψη του τριημέρου.png
Η ανακάλυψη του τριημέρου.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  b = x + s \hfill \\ 
  B{S^2} = BC \cdot BA - SC \cdot SA\,\, \hfill \\ 
  BS \cdot BA = S{A^2} - B{S^2}\,\,\,\left( {\widehat {SBA} = 2\widehat A} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  b = x + s\,\,\,(2) \hfill \\ 
  {y^2} = ab - xz\,\,\,(3)\, \hfill \\ 
  yb = {x^2} - {y^2}\,\,\,(4)\,\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. Από τις (3)\;\,\kappa \alpha \iota \,\,(4):

{x^2} - by = ab - xz \Leftrightarrow {x^2} + xz = ab + by \Leftrightarrow x(x + z) = b(a + y) και λόγω της (2)

Έχω το ζητούμενο : \boxed{x = a + y}


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Ιαν 11, 2019 9:59 pm

Εϊδα την υπόδειξη του Γιώργου, πήγα να κάνω λίγο μεγαλύτερο σχήμα και μου βγήκε αυτή η πατάτα.
Δεν έχω τρόπο για να ελέγχω το μέγεθος της εικόνας.
Δεν το κάνω επίτηδες.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4267
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 11, 2019 10:20 pm

Το σχήμα του Ανδρέα.


Το σχήμα του Ανδρέα.jpg
Το σχήμα του Ανδρέα.jpg (33.77 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

Θα πω τι κάνω εγώ όταν εισάγω σχήμα από το Geogebra. Πιθανόν να υπάρχει καλύτερη μέθοδος.

Στην εξαγωγή του σχήματος ως png αλλάζω την αναλογία βήματος π.χ. από 1 προς 10 σε 1 προς 5 κοιτώντας το μέγεθος να μην ξεπερνά τα 18x20 εκατοστά και κάνω μερικές προεπισκοπήσεις για να πετύχω λογικό αποτέλεσμα.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6279
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 11:07 pm

Κατασκευή

Θεωρώ τη συμμετρική ευθεία της AC με άξονα συμμετρία την AB και η ευθεία CB την τέμνει στο T.

Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle BAT και τέμνει ακόμα τη BC στο S που είναι αυτό που ζητώ .

Απόδειξη

Η ανακάλυψη του τριημέρου_κατασκευή Φράγκου.png
Η ανακάλυψη του τριημέρου_κατασκευή Φράγκου.png (32.65 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές
Επειδή η AB διχοτομεί τη \widehat {TAC} άρα BS = BT\,\,(1). Το τρίγωνο ACT έχει τη μια γωνία του 80^\circ την άλλη ( στο A) 20^\circ  + 20^\circ  = 40^\circ , συνεπώς \widehat {ATC} = 60^\circ .

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ATBS έχω ότι \widehat {CBS} = 40^\circ  \Rightarrow \widehat {BSC} = \widehat {BTC} = 20^\circ

Μα τώρα τα τρίγωνα : \vartriangle TSC \to (20^\circ ,80^\circ ,80^\circ )\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SAT \to (100^\circ ,40^\circ ,40^\circ )

Θα είναι έτσι AS = SC = CT = CB + BT = CB + BS.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10406
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 12, 2019 10:08 am

Doloros έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 7:59 pm
Η BS μάλλον είναι η διχοτόμος .
Για την ακρίβεια , η αρχική μου διατύπωση ήταν : Αν BS διχοτόμος , δείξτε ότι : CB+BS=AS .

Θέλοντας να την κάνω πιο "εφετζίδικη " , έδωσα αυτή τη διατύπωση , η οποία έδωσε το "δικαίωμα"

στην ωραία κατασκευή του Ανδρέα - αλλά η οποία γίνεται σε κάθε περίπτωση ( αρκεί AC >2BC ) -

και στους υπολοίπους να βρουν την "ανακάλυψη" , η οποία μπορεί να προκύψει και κατ' ευθείαν από

το σχήμα του Ανδρέα .

Σημ. Με δεξί κλικ πάνω στο σημείο και στη συνέχεια ...ιδιότητες , διορθώνονται πολλά ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες