Τετραγωνισμός κύκλου

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10236
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τετραγωνισμός κύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 10, 2019 11:34 am

Τετραγωνισμός του κύκλου.png
Τετραγωνισμός του κύκλου.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Από τα σημεία O,S,T διέρχεται μοναδικός κύκλος . Καταφέραμε και κατασκευάσαμε και ένα τετράγωνο , το

οποίο διέρχεται από τα ίδια σημεία . Συγκρίνετε τα εμβαδά των δύο σχημάτων . Σκεφθείτε αν για οποιαδήποτε

τρία μη συνευθειακά σημεία , μπορούμε να σχεδιάζουμε τετράγωνο με εμβαδόν μεγαλύτερο από του κύκλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7473
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 10, 2019 12:55 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 10, 2019 11:34 am
Τετραγωνισμός του κύκλου.pngΑπό τα σημεία O,S,T διέρχεται μοναδικός κύκλος . Καταφέραμε και κατασκευάσαμε και ένα τετράγωνο , το

οποίο διέρχεται από τα ίδια σημεία . Συγκρίνετε τα εμβαδά των δύο σχημάτων . Σκεφθείτε αν για οποιαδήποτε

τρία μη συνευθειακά σημεία , μπορούμε να σχεδιάζουμε τετράγωνο με εμβαδόν μεγαλύτερο από του κύκλου.
Για τη γενική περίπτωση.
Τετραγωνισμός κύκλου.png
Τετραγωνισμός κύκλου.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Δεν μπορεί να συμβεί αυτό αν π.χ το τρίγωνο OST είναι ισόπλευρο πλευράς έστω a. Τότε το εμβαδόν του κύκλου είναι

\displaystyle {E_k} = \frac{{\pi {a^2}}}{3} και το μέγιστο τετράγωνο έχει εμβαδόν \displaystyle {E_\tau } = {a^2}. Επειδή όμως, 3<\pi θα είναι \boxed{{E_\tau } < {E_k}}


Στις άλλες περιπτώσεις, αρκεί μία γωνία του τριγώνου να είναι "χοντρικά" μεγαλύτερη από 62,5^\circ, αλλά μικρότερη από 117,59^\circ.

O τετραγωνισμός του κύκλου επιτυγχάνεται όταν για μία γωνία \theta του τριγώνου ισχύει \displaystyle \sin \theta  = \frac{{\sqrt \pi  }}{2}.

Αυτά όμως αργότερα.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Ιαν 10, 2019 5:14 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7473
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 10, 2019 2:10 pm

Για να δούμε αναλυτικά τι συμβαίνει στο ωραίο αυτό πρόβλημα του Θανάση!
Τετραγωνισμός κύκλου.b.png
Τετραγωνισμός κύκλου.b.png (17.48 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
Φέρνω από το T παράλληλη στην OS που τέμνει τα ημικύκλια διαμέτρων TO, TS στα A, B αντίστοιχα και κατασκευάζω

το τετράγωνο ABCD με εμβαδόν \displaystyle {E_\tau } = {a^2} και έστω TS=b, TO=c, και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Είναι \displaystyle (OST) = \frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow bc\sin \theta  = \frac{{abc}}{{2R}} \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\sin \theta }} και το εμβαδόν του κύκλου \displaystyle {E_k} = \frac{{\pi {a^2}}}{{4{{\sin }^2}\theta }}

Για να είναι το εμβαδόν του τετραγώνου μεγαλύτερο από εκείνο του κύκλου, θα πρέπει λοιπόν \boxed{\sin \theta > \frac{{\sqrt \pi  }}{2}}

Αν \displaystyle \sin \omega = \frac{{\sqrt \pi  }}{2} (\displaystyle \omega \simeq 62,40288^\circ), αυτό συμβαίνει για \boxed{\omega<\theta<180^\circ-\omega}



Στο σχήμα έχουμε τον "τετραγωνισμό του κύκλου". Είναι \displaystyle \theta  = 62,40288^\circ, a=50,50115 και τα ίσα εμβαδά περίπου 30,2626.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10837
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 10, 2019 4:35 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 10, 2019 11:34 am
Από τα σημεία O,S,T διέρχεται μοναδικός κύκλος . Καταφέραμε και κατασκευάσαμε και ένα τετράγωνο , το

οποίο διέρχεται από τα ίδια σημεία . Συγκρίνετε τα εμβαδά των δύο σχημάτων . Σκεφθείτε αν για οποιαδήποτε

τρία μη συνευθειακά σημεία , μπορούμε να σχεδιάζουμε τετράγωνο με εμβαδόν μεγαλύτερο από του κύκλου.
Αν απαιτήσουμε ότι τα δοθέντα σημεία είναι σε διαφορετικές πλευρές του τε τετραγώνου, τότε έχουμε και "ακραίες συμπεριφορές". Συγκεκριμένα, θα υπάρχουν τότε δύο από τα τρία σημεία που βρίσκονται σε απέναντι πλευρές του τετραγώνου. Αν d η (δοθείσα) απόστασή τους τότε έπεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι \le d και άρα το εμβαδόν του είναι \le d^2. Μπορούμε όμως να βρούμε περιπτώσεις, για δοθέν d, που το εμβαδόν του κύκλου είναι όσο μεγάλο θέλουμε (να τείνει στο άπειρο). Για παράδειγμα αν τα σημεία είναι τα A(-d/2,0), \, B(d/2,0), \, C(0, 1/n), τότε ο κύκλος ABC έχει τεράστια ακτίνα διότι το τρίγωνο είναι "πεπλατυσμένο". Mάλιστα τείνει στο άπειρο καθώς n \to \infty. Άρα δεν μπορούμε να βρούμε τετράγωνο εμβαδού μεγαλύτερου του κύκλου.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10236
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 11, 2019 7:40 pm

Με τα δεδομένα σημεία του σχήματος , ο κύκλος είναι όντως μεγαλύτερος . Να δειχθεί παρακαλώ !

Ωστόσο , μπορούμε να φτιάξουμε τετράγωνο , αρκετά μεγαλύτερο . Να κατασκευασθεί παρακαλώ !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7473
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 13, 2019 10:14 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 7:40 pm
Με τα δεδομένα σημεία του σχήματος , ο κύκλος είναι όντως μεγαλύτερος . Να δειχθεί παρακαλώ !

Ωστόσο , μπορούμε να φτιάξουμε τετράγωνο , αρκετά μεγαλύτερο . Να κατασκευασθεί παρακαλώ !
Τετραγωνισμός κύκλου.ΙΙ.png
Τετραγωνισμός κύκλου.ΙΙ.png (30.15 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές
\displaystyle (OST) = \frac{1}{2}\left| {\det (\overrightarrow {OS} ,\overrightarrow {OT} )} \right| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
4&2\\ 
3&{ - 2} 
\end{array}} \right|| = 7 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {20}  \cdot \sqrt {17}  \cdot \sqrt {13} }}{{4R}} = 7

Σε κάθε περίπτωση το εμβαδόν του κύκλου είναι \boxed{{E_k} = \frac{{1105\pi }}{{196}} \simeq 17,7115}

α) Στο Σχήμα-1 το εμβαδόν του τετραγώνου είναι \displaystyle {E_\tau } = B{C^2} = S{T^2} = 17 \Rightarrow \boxed{{E_k} > {E_\tau }}

β)Στο Σχήμα-2, φέρνω από το T παράλληλη στην OS που τέμνει τα ημικύκλια διαμέτρων TO, TS στα A, B.

Στη συνέχεια κατασκευάζω το τετράγωνο ABCD. Τώρα είναι, \displaystyle {E_\tau } = D{C^2} = O{S^2} = 20 \Rightarrow \boxed{{E_k} < {E_\tau }}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες