Μεγαλώνει αλλά ...

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10406
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγαλώνει αλλά ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 07, 2019 8:55 pm

Μεγαλώνει  αλλά ....png
Μεγαλώνει αλλά ....png (6.25 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές
Το τρίγωνο του σχήματος έχει πλευρές BC=a , AB=a+1 , AC=a+2 .

Στις πλευρές AB,AC θεωρούμε σημεία S,T , έτσι ώστε : SB=BC=CT .

Υπολογίστε το a , έτσι ώστε : 1) ST=1,5 ...... 2) ST=1,8



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 942
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Ιαν 07, 2019 9:28 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 8:55 pm
Μεγαλώνει αλλά ....pngΤο τρίγωνο του σχήματος έχει πλευρές BC=a , AB=a+1 , AC=a+2 .

Στις πλευρές AB,AC θεωρούμε σημεία S,T , έτσι ώστε : SB=BC=CT .

Υπολογίστε το a , έτσι ώστε : 1) ST=1,5 ...... 2) ST=1,8
Θανάση καλησπέρα και χρόνια πολλά.

Αν δεν έχω κάποιο λάθος ...

Για να υπάρχει το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma πρέπει AC > AB + BC \Leftrightarrow \alpha  > 1

Από ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma είναι:

B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC\sigma \upsilon \nu A\mathop  \Rightarrow \limits^{\pi \rho \alpha \xi \varepsilon \iota \varsigma } \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{\alpha  + 5}}{{2\left( {\alpha  + 2} \right)}}
Είναι AS = 1 και AT = 2

Από ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο AST είναι:

S{T^2} = A{S^2} + A{T^2} - 2AS \cdot AT\sigma \upsilon \nu A \Rightarrow

S{T^2} = 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 2\dfrac{{\alpha  + 5}}{{2\left( {\alpha  + 2} \right)}} \Rightarrow

S{T^2} = \dfrac{{3\alpha }}{{\alpha  + 2}}

1) Αν ST = 1,5 τότε \dfrac{9}{4} = \dfrac{{3\alpha }}{{\alpha  + 2}} \Leftrightarrow \alpha  = 6 δεκτή

2) Αν ST = 1,8 τότε \dfrac{{81}}{{25}} = \dfrac{{3\alpha }}{{\alpha  + 2}} \Leftrightarrow \alpha  =  - 28 απορρίπτεται


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6279
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 07, 2019 9:58 pm

μεγαλώνει αλλά.png
μεγαλώνει αλλά.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Θ συνημίτονου στα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AST: \left\{ \begin{gathered} 
  {a^2} = {(a + 1)^2} + {(a + 2)^2} - 2(a + 1)(a + 2)t \hfill \\ 
  {x^2} = 5 - 4t \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{3a}}{{a + 2}}

Η συνάρτηση f:(1, + \infty ) \to \mathbb{R} με f(a) = \sqrt {\dfrac{{3a}}{{a + 2}}} μας δίδει το x.

Για \boxed{a = 6 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}} αλλά \mathop {\lim }\limits_{a \to  + \infty } f(a) = \sqrt 3  < 1,8 συνεπώς δεν ψάχνω.

'Έκανα μια διόρθωση στο πεδίο ορισμού βλέποντας τη λύση του Ηλία . Από το τρίγωνο AST προκύπτει x>2-1=1


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6279
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 07, 2019 11:21 pm

Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει τρίγωνο ABC και αφού b > c\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = 2 > 1 = AS, έστω D το σημείο τομής της ST με τη BC.

Θέτω: ST = x\,\,,\,\,BT = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = z

Θ. Μενελάου στο \vartriangle ABC με διατέμνουσα \overline {STD} έχω:

\dfrac{{AS}}{{SB}} \cdot \dfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \dfrac{{CT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \dfrac{a}{2} = 1 \Rightarrow BD = 2DC \Rightarrow \boxed{BC = CD = CT = a}

Δηλαδή το τρίγωνο TBD είναι ορθογώνιο στο T.

Τώρα πάλι Θ Μενελάου αλλά στο \vartriangle SBD με διατέμνουσα \overline {ATC} κι έχω:

\dfrac{{SA}}{{AB}} \cdot \dfrac{{BC}}{{CD}} \cdot \dfrac{{DT}}{{TS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{a + 1}} \cdot 1 \cdot \dfrac{z}{x} = 1 \Rightarrow \boxed{z = x(a + 1)}\,\,(1)
μεγαλώνει αλλά_χωρίς τριγωνομετρία.png
μεγαλώνει αλλά_χωρίς τριγωνομετρία.png (14.43 KiB) Προβλήθηκε 200 φορές
Τώρα με Π Θ. στα τρίγωνα TSB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TBD έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = {a^2} - {y^2} \hfill \\ 
  {y^2} = 4{a^2} - {z^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. που λόγω της (1) δίδει : \boxed{{x^2} = \frac{{3a}}{{a + 2}}} τα υπόλοιπα έχουν λεχθεί πιο πάνω .


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1763
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιαν 08, 2019 7:16 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 8:55 pm
Μεγαλώνει αλλά ....pngΤο τρίγωνο του σχήματος έχει πλευρές BC=a , AB=a+1 , AC=a+2 .

Στις πλευρές AB,AC θεωρούμε σημεία S,T , έτσι ώστε : SB=BC=CT .

Υπολογίστε το a , έτσι ώστε : 1) ST=1,5 ...... 2) ST=1,8

α) Για ST=1,5,
Στο τρίγωνο ATB από το θεώρημα του Stweart
BT^{2}+a.4=(a+1).(1,5^{2}+a)\Leftrightarrow BT^{2}=a^{2}-0.75a+2,25,(1)
Ομοίως στο τρίγωνο ABC,2a^{2}=a(a+1)^{2}=(a+2)(BT^{2}+2a),(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{a(a-1)(a+3)}{a+2}=a^{2}-0,75a+2,25\Rightarrow a=6



β) Για

ST=1,8, (1)\Rightarrow BT^{2}=a^{2}+0,24a+3,24, a^{2}+0,24a+3,24=\dfrac{a(a-1)(a+3)}{a+2}\Leftrightarrow 3a^{2}+84a+81=0\Leftrightarrow a=-1,a=-27 που απορίπτονται




Γιάννης
Συνημμένα
Μεγαλώνει αλλά .....png
Μεγαλώνει αλλά .....png (37.53 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τετ Ιαν 09, 2019 1:10 pm

Έστω το τρίγωνο AST με AS=1, AT=2, ST=1,5.
1) N η τομή της μεσοκαθέτου του TS με την AS.
2) C η τομή της παραλλήλου από το N με την TS και της AT.
3) B το άλλο σημείο τομης του κύκλου (C,CT) με την AS.
Τότε το τριγωνο ABC πληρεί τις προυποθέσεις του προβλήματος.

Παρόμοια κατασκευή ισχύει και για την δεύτερη περίπτωση.
Δεν έχω απόδειξη.
Συνημμένα
megaloni.png
megaloni.png (333.85 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες