Μεγαλώνει αλλά ...

KARKAR · #1

: Μεγαλώνει αλλά ....png (6.25 KiB) Προβλήθηκε 1485 φορές

Το τρίγωνο του σχήματος έχει πλευρές BC=a , AB=a+1 , AC=a+2

.

Στις πλευρές AB,AC

θεωρούμε σημεία S,T

, έτσι ώστε : SB=BC=CT

.

Υπολογίστε το

, έτσι ώστε : 1) ST=1,5

...... 2) ST=1,8

hlkampel · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 8:55 pm
Μεγαλώνει αλλά ....pngΤο τρίγωνο του σχήματος έχει πλευρές .

Στις πλευρές θεωρούμε σημεία , έτσι ώστε : .

Υπολογίστε το , έτσι ώστε : 1) ...... 2)

Θανάση καλησπέρα και χρόνια πολλά.

Αν δεν έχω κάποιο λάθος ...

Για να υπάρχει το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ πρέπει $AC > AB + BC \Leftrightarrow \alpha > 1$

Από ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC\sigma \upsilon \nu A\mathop \Rightarrow \limits^{\pi \rho \alpha \xi \varepsilon \iota \varsigma } \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{\alpha + 5}}{{2\left( {\alpha + 2} \right)}}$
Είναι AS = 1

και

Από ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο AST

είναι:

$S{T^2} = A{S^2} + A{T^2} - 2AS \cdot AT\sigma \upsilon \nu A \Rightarrow$

$S{T^2} = 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 2\dfrac{{\alpha + 5}}{{2\left( {\alpha + 2} \right)}} \Rightarrow$

$S{T^2} = \dfrac{{3\alpha }}{{\alpha + 2}}$

1) Αν ST = 1,5

τότε $\dfrac{9}{4} = \dfrac{{3\alpha }}{{\alpha + 2}} \Leftrightarrow \alpha = 6$ δεκτή

2) Αν ST = 1,8

τότε $\dfrac{{81}}{{25}} = \dfrac{{3\alpha }}{{\alpha + 2}} \Leftrightarrow \alpha = - 28$ απορρίπτεται

#3

: μεγαλώνει αλλά.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 1461 φορές

Θ συνημίτονου στα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AST$ : $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {(a + 1)^2} + {(a + 2)^2} - 2(a + 1)(a + 2)t \hfill \\ {x^2} = 5 - 4t \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{3a}}{{a + 2}}$

Η συνάρτηση $f:(1, + \infty ) \to \mathbb{R}$ με $f(a) = \sqrt {\dfrac{{3a}}{{a + 2}}}$ μας δίδει το

.

Για $\boxed{a = 6 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}}$ αλλά $\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } f(a) = \sqrt 3 < 1,8$ συνεπώς δεν ψάχνω.

'Έκανα μια διόρθωση στο πεδίο ορισμού βλέποντας τη λύση του Ηλία . Από το τρίγωνο προκύπτει

#4

Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει τρίγωνο ABC

και αφού $b > c\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = 2 > 1 = AS$ , έστω

το σημείο τομής της

με τη

.

Θέτω: $ST = x\,\,,\,\,BT = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = z$

Θ. Μενελάου στο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα $\overline {STD}$ έχω:

$\dfrac{{AS}}{{SB}} \cdot \dfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \dfrac{{CT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \dfrac{a}{2} = 1 \Rightarrow BD = 2DC \Rightarrow \boxed{BC = CD = CT = a}$

Δηλαδή το τρίγωνο TBD

είναι ορθογώνιο στο

.

Τώρα πάλι Θ Μενελάου αλλά στο $\vartriangle SBD$ με διατέμνουσα $\overline {ATC}$ κι έχω:

$\dfrac{{SA}}{{AB}} \cdot \dfrac{{BC}}{{CD}} \cdot \dfrac{{DT}}{{TS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{a + 1}} \cdot 1 \cdot \dfrac{z}{x} = 1 \Rightarrow \boxed{z = x(a + 1)}\,\,(1)$

: μεγαλώνει αλλά_χωρίς τριγωνομετρία.png (14.43 KiB) Προβλήθηκε 1441 φορές

Τώρα με Π Θ. στα τρίγωνα $TSB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TBD$ έχω:

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} = {a^2} - {y^2} \hfill \\ {y^2} = 4{a^2} - {z^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ που λόγω της (1)

δίδει : $\boxed{{x^2} = \frac{{3a}}{{a + 2}}}$ τα υπόλοιπα έχουν λεχθεί πιο πάνω .

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 8:55 pm
Μεγαλώνει αλλά ....pngΤο τρίγωνο του σχήματος έχει πλευρές .

Στις πλευρές θεωρούμε σημεία , έτσι ώστε : .

Υπολογίστε το , έτσι ώστε : 1) ...... 2)

α) Για

Στο τρίγωνο ATB

από το θεώρημα του Stweart

$BT^{2}+a.4=(a+1).(1,5^{2}+a)\Leftrightarrow BT^{2}=a^{2}-0.75a+2,25,(1)$
Ομοίως στο τρίγωνο $ABC,2a^{2}=a(a+1)^{2}=(a+2)(BT^{2}+2a),(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{a(a-1)(a+3)}{a+2}=a^{2}-0,75a+2,25\Rightarrow a=6$

β) Για

$ST=1,8, (1)\Rightarrow BT^{2}=a^{2}+0,24a+3,24, a^{2}+0,24a+3,24=\dfrac{a(a-1)(a+3)}{a+2}\Leftrightarrow 3a^{2}+84a+81=0\Leftrightarrow a=-1,a=-27$ που απορίπτονται

Γιάννης

nickchalkida · #6

Έστω το τρίγωνο AST

με

,

.
1)

η τομή της μεσοκαθέτου του

με την

.
2)

η τομή της παραλλήλου από το

με την

και της

.
3)

το άλλο σημείο τομης του κύκλου (C,CT)

με την

.
Τότε το τριγωνο ABC

πληρεί τις προυποθέσεις του προβλήματος.

Παρόμοια κατασκευή ισχύει και για την δεύτερη περίπτωση.
Δεν έχω απόδειξη.

Μεγαλώνει αλλά ...

Μεγαλώνει αλλά ...

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

Μέλη σε σύνδεση