Σύγκριση περιοχών

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4203
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Σύγκριση περιοχών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Ιαν 07, 2019 11:19 am

Καλή χρονιά σε όλους.

Θα χαρώ να δω πρώτα απαντήσεις μαθητών. Ας περιμένουμε μέχρι το κουδούνι του 7ωρου της πρώτης μέρας στο σχολείο για το 2019 (εξαιρουμένων περιοχών με χιόνια ή με Ραγκουτσάρια).

Δίνονται δύο κύκλοι C_1 και C_2 με ακτίνες \sqrt{3}cm και \sqrt{2} cm, αντίστοιχα. Οι δύο κύκλοι τέμνονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε και στα δύο σημεία τομής τους η εφαπτομένη στον κύκλο C_1 είναι κάθετη στην εφαπτομένη στον κύκλο C_2. Υπολογίστε πόσο μεγαλύτερη είναι η περιοχή του κύκλου C_1 που δεν καλύπτεται από τον κύκλο C_2 από την περιοχή του κύκλου C_2 που δεν καλύπτεται από τον κύκλο C_1. Γενικεύεστε για τυχαίους κύκλους (C_1, R) και (C_2, r), με R > r.



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σύγκριση περιοχών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιαν 07, 2019 1:07 pm

Καλημέρα!

Το σχήμα δεν είναι σε κλίμακα αλλά κρατάει τα βασικά.

Έστω E_1,E_2 τα οι περιοχές των κύκλων που δεν καλύπτεται η μία από την άλλη.
E_1-E_2=3\pi\cdot \dfrac{360-2\cdot 39}{360}-2\pi\cdot \dfrac{360-2\cdot 51}{360}=\dfrac{11\pi}{12}

Για τυχαίους κύκλους βρίσκουμε την \theta
και την \varphi και χρησιμοποιώντας τον τύπο E=\pi \rho^{2} \dfrac{\mu }{360} με \rho την ακτίνα και \mu το μέτρο της επίκεντρης που βαίνει στα σημεία τομής βρίσκουμε το ζητούμενο
Συνημμένα
Capture45.PNG
Capture45.PNG (48.07 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Τρί Ιαν 08, 2019 4:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4203
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σύγκριση περιοχών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Ιαν 07, 2019 8:20 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 1:07 pm
Καλημέρα!

Το σχήμα δεν είναι σε κλίμακα αλλά κρατάει τα βασικά.

Έστω E_1,E_2 τα οι περιοχές των κύκλων που δεν καλύπτεται η μία από την άλλη.E_1-E_2=\pi R^{2}\left ( 1-\dfrac{154}{360} \right )-\pi r^{2}\left (1-\dfrac{52}{360} \right )=\pi \left [ 3\left ( 1-\dfrac{154}{360} \right )-2\left ( 1-\dfrac{52}{360} \right ) \right ]=\pi \left ( 3\cdot \dfrac{206}{360}-2\cdot \dfrac{308}{360}\right )=.\,.\pi\cdot \dfrac{2}{360} =\dfrac{\pi}{180}
Για τυχαίους κύκλους βρίσκουμε την \theta
και την \varphi και χρησιμοποιώντας τον τύπο E=\pi \rho^{2} \dfrac{\mu }{360} με \rho την ακτίνα και \mu το μέτρο της επίκεντρης που βαίνει στα σημεία τομής βρίσκουμε το ζητούμενο .
Πρόδρομε καλησπέρα. Σε ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση. Ξαναδές λίγο τους τύπους και τις τιμές των γωνιών που χρησιμοποιείς.

Μην παραβλέπεις το γεγονός ότι είμαστε στον φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών.

Α! Δες και τη φράση κλειδί που παραθέτω.

(Μετά τις τυχόν διορθώσεις και αλλαγές, θα διαγράψω τις παρατηρήσεις και συμβουλές που δίνω εδώ).

Ελπίζω όποιος ασχοληθεί να απολαύσει, όσο και εγώ, τη στιγμή της αποκάλυψης του (όχι και τόσο φοβερού...) κλειδιού της άσκησης.


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σύγκριση περιοχών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιαν 08, 2019 4:56 pm

Καλησπέρα σας κύριε Γιώργο έκανα κάποιες διορθώσεις πιο πάνω αλλά δεν μπόρεσα να σκεφτώ κάτι για την φράση κλειδί.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7446
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύγκριση περιοχών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 08, 2019 7:00 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 11:19 am
Καλή χρονιά σε όλους.

Θα χαρώ να δω πρώτα απαντήσεις μαθητών. Ας περιμένουμε μέχρι το κουδούνι του 7ωρου της πρώτης μέρας στο σχολείο για το 2019 (εξαιρουμένων περιοχών με χιόνια ή με Ραγκουτσάρια).

Δίνονται δύο κύκλοι C_1 και C_2 με ακτίνες \sqrt{3}cm και \sqrt{2} cm, αντίστοιχα. Οι δύο κύκλοι τέμνονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε και στα δύο σημεία τομής τους η εφαπτομένη στον κύκλο C_1 είναι κάθετη στην εφαπτομένη στον κύκλο C_2. Υπολογίστε πόσο μεγαλύτερη είναι η περιοχή του κύκλου C_1 που δεν καλύπτεται από τον κύκλο C_2 από την περιοχή του κύκλου C_2 που δεν καλύπτεται από τον κύκλο C_1. Γενικεύεστε για τυχαίους κύκλους (C_1, R) και (C_2, r), με R > r.
Καλησπέρα!
Σύγκριση περιοχών.png
Σύγκριση περιοχών.png (27.47 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
Ο ένας κύκλος καλύπτει τον άλλο κατά την ίδια κίτρινη περιοχή. Άρα, \boxed{{E_1} - {E_2} = \pi ({R^2} - {r^2})}

Όλα τα υπόλοιπα δεδομένα είναι παραπλανητικά. Δεν χρειάζονται ούτε οι κάθετες εφαπτόμενες ούτε οι γωνίες που προκύπτουν.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4203
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σύγκριση περιοχών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιαν 08, 2019 7:18 pm

Καλησπέρα σε όλους. Αυτό ακριβώς που έγραψε ο Γιώργος εννοούσα.


08-01-2019 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.jpg
08-01-2019 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.jpg (30.35 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές

Τα επιπλέον δεδομένα οδηγούν τον λύτη στην επεξεργασία τους (υπολογισμού εμβαδών χωρίων κ.λπ.), απομακρύνοντάς τον από την ουσία,που είναι η εποπτική κατανόηση του ερωτήματος.

Ομολογώ ότι κι εμένα η πρώτη μου σκέψη ήταν η χρήση των δεδομένων της υπόθεσης. Οι καθετότητες στα σημεία τομής σε οδηγούν να σκεφθείς ότι οι εφαπτόμενες διέρχονται από τα κέντρα των κύκλων και μετά αρχίζουν οι υπολογισμοί.

Κι όμως, είναι τόσο όμορφα απλό!

Ευχαριστώ και πάλι τον Πρόδρομο για την ειλικρινή προσπάθειά του, την αγάπη και την αφοσίωση που δείχνει στα Μαθηματικά. Εύχομαι καλή Συνέχεια!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7446
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύγκριση περιοχών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 08, 2019 7:34 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 7:18 pm

...Ομολογώ ότι κι εμένα η πρώτη μου σκέψη ήταν η χρήση των δεδομένων της υπόθεσης. Οι καθετότητες στα σημεία τομής σε οδηγούν να σκεφθείς ότι οι εφαπτόμενες διέρχονται από τα κέντρα των κύκλων και μετά αρχίζουν οι υπολογισμοί.

Κι όμως, είναι τόσο όμορφα απλό!
Το ίδιο έκανα κι εγώ, Γιώργο. Το μυαλό μου πήγε κατευθείαν σε ορθογώνιους κύκλους και ήμουν έτοιμος να υπολογίσω κυκλικά

τμήματα, κλπ. Είναι πράγματι όμορφο. Θυμήθηκα, τότε που ήμουν μαθητής πόση εντύπωση μου είχε κάνει η απάντηση στο

εξής πρόβλημα: Αν αυξήσουμε την ακτίνα της Γης κατά 1m, πόσο θα αυξηθεί η περίμετρός της;


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4203
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σύγκριση περιοχών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιαν 08, 2019 7:49 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 7:34 pm
Θυμήθηκα, τότε που ήμουν μαθητής πόση εντύπωση μου είχε κάνει η απάντηση στο εξής πρόβλημα: Αν αυξήσουμε την ακτίνα της Γης κατά 1m, πόσο θα αυξηθεί η περίμετρός της;

Όποιος δεν το γνωρίζει ας απευθυνθεί σε ορνιθοτρόφο από το Μινσκ.




Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10219
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σύγκριση περιοχών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 08, 2019 8:29 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 7:49 pm


Όποιος δεν το γνωρίζει ας απευθυνθεί σε ορνιθοτρόφο από το Μινσκ.
Απευθύνθηκα και να τι μου απάντησε :lol:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7446
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύγκριση περιοχών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 08, 2019 8:47 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 8:29 pm
Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 7:49 pm


Όποιος δεν το γνωρίζει ας απευθυνθεί σε ορνιθοτρόφο από το Μινσκ.
Απευθύνθηκα και να τι μου απάντησε :lol:
Δεν παίζεστε και οι δύο :lol: :wow:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες