Απάτητη κορυφή

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10406
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απάτητη κορυφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 04, 2019 10:46 am

H  τέταρτη  κορυφή.png
H τέταρτη κορυφή.png (9.31 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές
Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής C του παραλληλογράμμου ABCD .

Ενδιαφέρομαι για τις λύσεις που θα εμφανισθούν μετά τις τρεις πρώτες :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7710
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απάτητη κορυφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 04, 2019 11:06 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 04, 2019 10:46 am
H τέταρτη κορυφή.pngΒρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής C του παραλληλογράμμου ABCD .

Ενδιαφέρομαι για τις λύσεις που θα εμφανισθούν μετά τις τρεις πρώτες :lol:


Ας γράψω λοιπόν στα γρήγορα την πρώτη λύση. Έστω C(x,y).

\displaystyle \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow (x - 2,y - 4) = (5, - 2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
x - 2 = 5\\ 
y - 4 =  - 2 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{C(7,2)}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10966
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απάτητη κορυφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 04, 2019 11:10 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 04, 2019 10:46 am
H τέταρτη κορυφή.pngΒρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής C του παραλληλογράμμου ABCD .

Ενδιαφέρομαι για τις λύσεις που θα εμφανισθούν μετά τις τρεις πρώτες :lol:
H στάνταρ λύση είναι με χρήση της ιδιότητας ότι τα μέσα των διαγωνίων συμπίπτουν. Εδώ της BD είναι το (5/2, 1/2) άρα θέλουμε ((x-2)/2, (y-1)/2)= (5/2,1/2). Είναι x=7, y=2.

Υπόψη, εργάστηκα με βάση το δοθέν σχήμα. Υπάρχουν δύο ακόμη θέσεις που μπορεί να βρίσκεται το C, ανάλογα με την αναδιάταξη των γραμμάτων A,B,C,D . Το αφήνω ως άμεσο αλλά κοπιαστικό.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 942
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Απάτητη κορυφή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Ιαν 04, 2019 11:29 am

Καλημέρα και Καλή Χρονιά σε όλους.

Μια ακόμη αναμενόμενη...

Αν C\left( {x,y} \right) τότε:

CD//AB \Leftrightarrow {\lambda _{CD}} = {\lambda _{AB}} \Leftrightarrow \dfrac{{y - 4}}{{x - 2}} = \dfrac{{ - 2}}{5} \Leftrightarrow 2x + 5y = 24\,\,\left( 1 \right)

CB//AD \Leftrightarrow {\lambda _{CB}} = {\lambda _{AD}} \Leftrightarrow \dfrac{{y + 3}}{{x - 3}} = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow 5x - 4y = 27\,\,\left( 2 \right)

Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων έχουμε C\left( {7,2} \right) που είναι δεκτή.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Απάτητη κορυφή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Ιαν 04, 2019 11:57 am

\displaystyle{ 
\left. 
\begin{aligned} 
& AB = (5,-2) \cr 
& AD = (4,5) \cr 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow AB + AD = (9,3) \rightarrow C= (7,2) 
}

Στο τελευταίο βήμα αφαιρέσαμε τις συντεταγμένες του A.


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7710
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απάτητη κορυφή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 04, 2019 1:04 pm

Άλλη μία ψιλοτραβηγμένη:

Το C κινείται πάνω σε ευθεία παράλληλη της AB που διέρχεται από το D(2,4). Άρα, \boxed{2x+5y=24} (1)

\displaystyle (BDC) = (ABD) \Leftrightarrow |\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&{ - 7}\\ 
{x - 2}&{y - 4} 
\end{array}} \right|| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
5&{ - 2}\\ 
4&5 
\end{array}} \right| \Leftrightarrow \boxed{|7x+y-18|=33} (2)

Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) βρίσκω \boxed{C(7,2)} ή C(-3,6) που απορρίπτεται γιατί τότε το

παραλληλόγραμμο είναι ABDC και όχι ABCD.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4267
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απάτητη κορυφή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 04, 2019 1:10 pm

Καλημέρα σε όλους από την χιονισμένη πόλη της Κέρκυρας (φαινόμενο άγνωστο στους κατοίκους κάτω των 15 ετών, που είναι αταξίδευτοι...)

Μια λύση γραμμένη στο χιόνι.


Κέρκυρα 04-1-2019.jpg
Κέρκυρα 04-1-2019.jpg (109.3 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1711
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Απάτητη κορυφή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Ιαν 05, 2019 4:09 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 04, 2019 10:46 am
H τέταρτη κορυφή.pngΒρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής C του παραλληλογράμμου ABCD .

Ενδιαφέρομαι για τις λύσεις που θα εμφανισθούν μετά τις τρεις πρώτες :lol:
Οι κύκλοι με κέντρα τα D, B και ακτίνες  AB, AD, αντίστοιχα, έχουν εξισώσεις

(x-3)^2+(y+3)^2=4^2+5^2

(x-2)^2+(y-4)^2=5^2+2^2

Το σύστημα έχει λύσεις (7,2), \left (-\dfrac{56}{25} , \dfrac{17}{25} \right ). Η δεύτερη με αρνητική τετμημένη απορρίπτεται, όποτε C(7,2)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες