Παραπανίσια εξίσωση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10534
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραπανίσια εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 30, 2018 5:19 pm

Βρείτε τους θετικούς ακέραιους x,y , ( x<y ) , αν : \left\{\begin{matrix}
\dfrac{2xy}{x+y} & =19\\ 
 & \\ 
 \dfrac{y}{x}& =19
\end{matrix}\right.

Εξηγήστε τώρα γιατί δεν έπρεπε να σας δώσω τη δεύτερη εξίσωση :cry: :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11034
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραπανίσια εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 30, 2018 6:22 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 5:19 pm
Βρείτε τους θετικούς ακέραιους x,y , ( x<y ) , αν : \left\{\begin{matrix} 
\dfrac{2xy}{x+y} & =19\\  
 & \\  
 \dfrac{y}{x}& =19 
\end{matrix}\right.

Εξηγήστε τώρα γιατί δεν έπρεπε να σας δώσω τη δεύτερη εξίσωση :cry: :lol:
H πρώτη γράφεται 2y= 19 + \frac {19^2}{2x-19} \, (*). Για να είναι στους ακεραίους πρέπει το 2x-19 να είναι ένας από τους διαιρέτες του 19^2, δηλαδή \pm 1, \, \pm 19, \pm 19^2. Παίρνοντας κάθε τιμή χωριστά και αντικαθιστώντας στην (*) θα βρούμε τα εξής ζεύγη λύσεων:

(x,y)=(10,190) ή (19,19) ή (190,10) ή (9,-19) ή (-19, ...) ή (-19^2,...).

Κρατώντας μόνο τους θετικούς ακεραίους και με x<y, μένει μόνο η λύση (x,y)=(10,190).

Παρατηρούμε ότι αυτή ικανοποιεί αυτόματα την δεύτερη εξίσωση, οπότε μας είναι παρείσακτη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7908
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραπανίσια εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 31, 2018 7:07 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 5:19 pm
Βρείτε τους θετικούς ακέραιους x,y , ( x<y ) , αν : \left\{\begin{matrix} 
\dfrac{2xy}{x+y} & =19\\  
 & \\  
 \dfrac{y}{x}& =19 
\end{matrix}\right.

Εξηγήστε τώρα γιατί δεν έπρεπε να σας δώσω τη δεύτερη εξίσωση :cry: :lol:
\displaystyle 19 = \frac{{2xy}}{{x + y}} > \frac{{2xy}}{{2y}} \Leftrightarrow x < 19 και με παρόμοιο τρόπο βρίσκω y>19.

Αλλά, \displaystyle 2xy = 19(x + y) που σημαίνει ότι το 19 διαιρεί τον y αφού x<19. Έστω λοιπόν, y=19k, k>1.

Τότε, \displaystyle x = \frac{{19k}}{{2k - 1}}, άρα k=10 οπότε (x,y)=(10,190), δηλαδή η δεύτερη εξίσωση δεν χρειάζεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης