Ας απονείμουμε τιμές

KARKAR · #1

Για το τρίτου βαθμού πολυώνυμο P(x)

δίνεται ότι :

$P(0)=0 , P(1)=\dfrac{1}{2} ,P(2)=\dfrac{2}{3} , P(3)=\dfrac{3}{4}$ . Βρείτε το P(4)

.

Σκεφθείτε να είναι τετάρτου βαθμού , να δίνεται επιπλέον ότι : $P(4)=\dfrac{4}{5}$

και να ζητούσαμε το P(5)

. Πανηγύρι

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2018 1:50 pm
Για το τρίτου βαθμού πολυώνυμο δίνεται ότι :

$P(0)=0 , P(1)=\dfrac{1}{2} ,P(2)=\dfrac{2}{3} , P(3)=\dfrac{3}{4}$ . Βρείτε το .

Σκεφθείτε να είναι τετάρτου βαθμού , να δίνεται επιπλέον ότι : $P(4)=\dfrac{4}{5}$

και να ζητούσαμε το . Πανηγύρι

Θέτουμε $\displaystyle{Q(x)=(x+1)P(x)-x}$ , που είναι βέβαια τετάρτου βαθμού. Η υπόθεση μας λέει ότι το

έχει ρίζες τα 0, 1, 2, 3

και άρα

$\displaystyle{(x+1)P(x)-x= Q(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)}$ .

Έτσι $\displaystyle{P(x)= \dfrac {x+ ax(x-1)(x-2)(x-3)}{x+1}}$ αλλά επιλέγουμε το

ώστε ο αριθμητής να έχει ρίζα το

ώστε ο αντίστοιχος παράγοντας x+1

να απλοποιηθεί με τον παρονομαστή. Είναι a= 1/24

(άμεσο) οπότε τελικά

$\displaystyle{P(x)= \dfrac {x+ (1/24)x(x-1)(x-2)(x-3)}{x+1} =\dfrac {24x+ x(x-1)(x-2)(x-3)}{24(x+1)} = ... = \dfrac {x(x+1)(x^2-7x+18)}{24(x+1)} =$

$= \dfrac {1}{24}x(x^2-7x+18) }$ (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις).

Τα υπόλοιπα με ακριβώς τον ίδιο τρόπο και τα ζητούμενα άμεσα.

KARKAR · #3

Ε-ξαι-ρε-τι-κή τεχνική , από τον "σπεσιαλίστα" στα πολυώνυμα ( και όχι μόνο ) Μιχάλη

Το διασκεδαστικό του θέματος όμως , βρίσκεται στο να βρούμε τις ζητούμενες τιμές

και κυρίως , στο να κάνουμε τις εύστοχες παρατηρήσεις επί των αποτελεσμάτων .

#4

Θανάση, έχεις δίκιο. Η επόμενη τιμή έχει ενδιαφέρον. Ας γενικεύσουμε, λοιπόν.

Θέλουμε πολυώνυμο

βαθμού με $P(x)= \frac {k}{k+1} \, (*)$ για $0\le k \le n$ . Η ίδια τεχνική με το παραπάνω (ή σκεπτόμενοι επαγωγικά) δίνει

$\displaystyle{P(x)= \dfrac {x+ \dfrac {(-1)^{n+1}}{(n+1)!} x(x-1)(x-2)...(x-n)}{x+1}$ (όποιος δεν το πιστεύει, ελέγχει. Δηλαδή έχει να πεισθεί πέραν της (*)

ότι ο αριθμητής μηδενίζεται αν x=-1

).

Τώρα βλέπουμε ότι για x=n+1

είναι

$\displaystyle{P(n+1) = \dfrac {n+1+ \dfrac {(-1)^{n+1}}{(n+1)!}(n+1)!}{n+2} = \dfrac {n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}}$

που είναι ίσο με

αν

περιττός και $\frac {n}{n+2}$ αν είναι άρτιος. Που εξηγεί γιατί ζήτησες την τιμή του πολυωνύμου και για n=3

(περιττό) και για n=4

(άρτιο).

Ας απονείμουμε τιμές

Ας απονείμουμε τιμές

Re: Ας απονείμουμε τιμές

Re: Ας απονείμουμε τιμές

Re: Ας απονείμουμε τιμές

Μέλη σε σύνδεση