Ας απονείμουμε τιμές

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ας απονείμουμε τιμές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 28, 2018 1:50 pm

Για το τρίτου βαθμού πολυώνυμο P(x) δίνεται ότι :

P(0)=0 , P(1)=\dfrac{1}{2} ,P(2)=\dfrac{2}{3} , P(3)=\dfrac{3}{4} . Βρείτε το P(4) .

Σκεφθείτε να είναι τετάρτου βαθμού , να δίνεται επιπλέον ότι : P(4)=\dfrac{4}{5}

και να ζητούσαμε το P(5) . Πανηγύρι :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11232
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ας απονείμουμε τιμές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 28, 2018 2:15 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 1:50 pm
Για το τρίτου βαθμού πολυώνυμο P(x) δίνεται ότι :

P(0)=0 , P(1)=\dfrac{1}{2} ,P(2)=\dfrac{2}{3} , P(3)=\dfrac{3}{4} . Βρείτε το P(4) .

Σκεφθείτε να είναι τετάρτου βαθμού , να δίνεται επιπλέον ότι : P(4)=\dfrac{4}{5}

και να ζητούσαμε το P(5) . Πανηγύρι :lol:
Θέτουμε \displaystyle{Q(x)=(x+1)P(x)-x}, που είναι βέβαια τετάρτου βαθμού. Η υπόθεση μας λέει ότι το Q έχει ρίζες τα 0, 1, 2, 3 και άρα

\displaystyle{(x+1)P(x)-x= Q(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)}.

Έτσι \displaystyle{P(x)= \dfrac {x+ ax(x-1)(x-2)(x-3)}{x+1}} αλλά επιλέγουμε το a ώστε ο αριθμητής να έχει ρίζα το -1 ώστε ο αντίστοιχος παράγοντας x+1 να απλοποιηθεί με τον παρονομαστή. Είναι a= 1/24 (άμεσο) οπότε τελικά

\displaystyle{P(x)= \dfrac {x+ (1/24)x(x-1)(x-2)(x-3)}{x+1}   =\dfrac {24x+ x(x-1)(x-2)(x-3)}{24(x+1)} = ... = \dfrac {x(x+1)(x^2-7x+18)}{24(x+1)} =

= \dfrac {1}{24}x(x^2-7x+18) } (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις).

Τα υπόλοιπα με ακριβώς τον ίδιο τρόπο και τα ζητούμενα άμεσα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ας απονείμουμε τιμές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 28, 2018 6:17 pm

Ε-ξαι-ρε-τι-κή τεχνική , από τον "σπεσιαλίστα" στα πολυώνυμα ( και όχι μόνο ) Μιχάλη :clap2:

Το διασκεδαστικό του θέματος όμως , βρίσκεται στο να βρούμε τις ζητούμενες τιμές

και κυρίως , στο να κάνουμε τις εύστοχες παρατηρήσεις επί των αποτελεσμάτων .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11232
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ας απονείμουμε τιμές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 28, 2018 6:48 pm

Θανάση, έχεις δίκιο. Η επόμενη τιμή έχει ενδιαφέρον. Ας γενικεύσουμε, λοιπόν.

Θέλουμε πολυώνυμο n βαθμού με P(x)= \frac {k}{k+1} \, (*) για 0\le k \le n. Η ίδια τεχνική με το παραπάνω (ή σκεπτόμενοι επαγωγικά) δίνει

\displaystyle{P(x)= \dfrac {x+  \dfrac {(-1)^{n+1}}{(n+1)!} x(x-1)(x-2)...(x-n)}{x+1} (όποιος δεν το πιστεύει, ελέγχει. Δηλαδή έχει να πεισθεί πέραν της (*) ότι ο αριθμητής μηδενίζεται αν x=-1).

Τώρα βλέπουμε ότι για x=n+1 είναι

\displaystyle{P(n+1) =  \dfrac {n+1+  \dfrac {(-1)^{n+1}}{(n+1)!}(n+1)!}{n+2} = \dfrac {n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}}

που είναι ίσο με 1 αν n περιττός και \frac {n}{n+2} αν είναι άρτιος. Που εξηγεί γιατί ζήτησες την τιμή του πολυωνύμου και για n=3 (περιττό) και για n=4 (άρτιο).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης