Ping Pong

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 266
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ping Pong

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Δεκ 27, 2018 10:18 pm

Παρακολουθείτε έναν αγώνα πινγκ πονγκ ανάμεσα σε δύο ισοδύναμους παίκτες. Ποιο σκορ αναμένετε στο τέλος του αγώνα;

Σημείωση: Ένας αγώνας τελειώνει στα 11, αν όμως φτάσει ισοπαλία 10-10, τελειώνει στα  12, εκτός αν ξαναέρθει ισοπαλία 11-11 οπότε πάει στα 13, και ούτω καθεξής.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7991
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ping Pong

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Δεκ 28, 2018 11:28 am

Η πιθανότητα το σκορ να φτάσει στο 11 \text{-} k όπου k \leqslant 9 είναι \displaystyle  p_k = \binom{10+k}{k} \frac{1}{2^{10+k}}

Πράγματι, πριν γίνει το σκορ 11 \text{-} k πρέπει να είναι 10 \text{-} k. Υπάρχουν \displaystyle 2\binom{10+k}{k} διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους το σκορ μπορεί να γίνει 10 \text{-} k μετά από 10+k πόντους. Το 2 μπροστά βρίσκεται για να επιλέξουμε ποιος από τους δύο παίκτες θα προηγείται. Υπάρχει επίσης πιθανότητα \frac{1}{2} αυτός που προηγείται να κάνει το σκορ 11 \text{-} k και να κερδίσει.

Παρατηρούμε ότι \displaystyle  \frac{p_{k+1}}{p_k} = \frac{11+k}{2(k+1)} > 1 για 1 \leqslant k \leqslant 8. Άρα από τα p_1,\ldots,p_k το μεγαλύτερο από όλα είναι το p_9.

Η πιθανότητα να φτάσουμε σε σκορ 10 \text{-} 10 είναι \displaystyle  p_{10} = \binom{20}{10} \frac{1}{2^{20}}

Παρατηρούμε ότι p_9 = p_{10}. Για k \geqslant 12, γράφουμε p_k για την πιθανότητα να έχουμε σκορ k \text{-} (k-2). Επειδή p_{12}+p_{13}+ \cdots = p_{10} = p_{9} κάθε ένα από τα p_k για k \geqslant 12 είναι μικρότερη του p_9. (Προφανώς είναι όλα θετικά.)

Άρα το πιο πιθανό σκορ είναι το 11 \text{-} 9.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 266
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ping Pong

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Δεκ 29, 2018 1:06 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 11:28 am
Η πιθανότητα το σκορ να φτάσει στο 11 \text{-} k όπου k \leqslant 9 είναι \displaystyle  p_k = \binom{10+k}{k} \frac{1}{2^{10+k}}

Πράγματι, πριν γίνει το σκορ 11 \text{-} k πρέπει να είναι 10 \text{-} k. Υπάρχουν \displaystyle 2\binom{10+k}{k} διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους το σκορ μπορεί να γίνει 10 \text{-} k μετά από 10+k πόντους. Το 2 μπροστά βρίσκεται για να επιλέξουμε ποιος από τους δύο παίκτες θα προηγείται. Υπάρχει επίσης πιθανότητα \frac{1}{2} αυτός που προηγείται να κάνει το σκορ 11 \text{-} k και να κερδίσει.

Παρατηρούμε ότι \displaystyle  \frac{p_{k+1}}{p_k} = \frac{11+k}{2(k+1)} > 1 για 1 \leqslant k \leqslant 8. Άρα από τα p_1,\ldots,p_k το μεγαλύτερο από όλα είναι το p_9.

Η πιθανότητα να φτάσουμε σε σκορ 10 \text{-} 10 είναι \displaystyle  p_{10} = \binom{20}{10} \frac{1}{2^{20}}

Παρατηρούμε ότι p_9 = p_{10}. Για k \geqslant 12, γράφουμε p_k για την πιθανότητα να έχουμε σκορ k \text{-} (k-2). Επειδή p_{12}+p_{13}+ \cdots = p_{10} = p_{9} κάθε ένα από τα p_k για k \geqslant 12 είναι μικρότερη του p_9. (Προφανώς είναι όλα θετικά.)

Άρα το πιο πιθανό σκορ είναι το 11 \text{-} 9.
Ωραία λύση.

Αν υπολογίσουμε τον μέσο όρο πόντων σε κάθε παιχνίδι βγαίνει 18.8285.

Οπότε κατανέμοντας αυτούς τους πόντους στον νικητή και τον χαμένο βγαίνει ''μέσο σκορ'' ανά παιχνίδι 11-8.

Περίεργο ή μήπως όχι; :twisted: :twisted:

Για την ιστορία το πρόβλημα μου το είχε θέσει ο Ευθύμιος Τσακαλέρης.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7991
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ping Pong

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 29, 2018 1:30 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Δεκ 29, 2018 1:06 pm
Αν υπολογίσουμε τον μέσο όρο πόντων σε κάθε παιχνίδι βγαίνει 18.8285.

Οπότε κατανέμοντας αυτούς τους πόντους στον νικητή και τον χαμένο βγαίνει ''μέσο σκορ'' ανά παιχνίδι 11-8.

Περίεργο ή μήπως όχι; :twisted: :twisted:
Καθόλου περίεργο για δύο λόγους.

(α) Άλλο το πιο πιθανό σκορ και άλλο ο μέσος όρος πόντων. Με ένα πιο απλό παράδειγμα, αν ένα παιχνίδι τένις σε γκραν σλαμ (δηλαδή μέχρι τρεις νίκες) τελειώνει με σκορ 3\text{-}0 με πιθανότητα 40\%, με σκορ 3\text{-}1 με πιθανότητα 30\% και με σκορ 3\text{-}2 με πιθανότητα 30\%, τότε το πιο πιθανό σκορ είναι 3\text{-}0 αλλά ο μέσος όρος σετ που παίζονται είναι 3.9. Δηλαδή «μέσο σκορ» σχεδόν 3\text{-}1. [Οι πιθανότητες που έγραψα επιλέχθηκαν αυθαίρετα.]

(β) Ασφαλώς στα παιχνίδια οι παίκτες δεν είναι ισοδύναμοι οπότε είναι αναμενόμενο ο μέσος όρος πόντων να είναι χαμηλότερος από ότι αν ήταν ισοδύναμοι. Παίζει ρόλο βέβαια και το γεγονός ότι ο κάθε παίκτης στο σερβίς του έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να πάρει τον πόντο.

\rule{500pt}{0.7pt}

Ας βρεθεί και ο αναμενόμενος μέσος όρος πόντων αν είχαμε ισοδύναμους παίκτες.

Είναι πιο απλό από ότι δείχνει και αυτό είναι μια σημαντική υπόδειξη.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 266
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ping Pong

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Δεκ 29, 2018 1:39 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Δεκ 29, 2018 1:30 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Δεκ 29, 2018 1:06 pm
Αν υπολογίσουμε τον μέσο όρο πόντων σε κάθε παιχνίδι βγαίνει 18.8285.

Οπότε κατανέμοντας αυτούς τους πόντους στον νικητή και τον χαμένο βγαίνει ''μέσο σκορ'' ανά παιχνίδι 11-8.

Περίεργο ή μήπως όχι; :twisted: :twisted:
Καθόλου περίεργο για δύο λόγους.

(α) Άλλο το πιο πιθανό σκορ και άλλο ο μέσος όρος πόντων. Με ένα πιο απλό παράδειγμα, αν ένα παιχνίδι τένις σε γκραν σλαμ (δηλαδή μέχρι τρεις νίκες) τελειώνει με σκορ 3\text{-}0 με πιθανότητα 40\%, με σκορ 3\text{-}1 με πιθανότητα 30\% και με σκορ 3\text{-}2 με πιθανότητα 30\%, τότε το πιο πιθανό σκορ είναι 3\text{-}0 αλλά ο μέσος όρος σετ που παίζονται είναι 3.9. Δηλαδή «μέσο σκορ» σχεδόν 3\text{-}1. [Οι πιθανότητες που έγραψα επιλέχθηκαν αυθαίρετα.]

(β) Ασφαλώς στα παιχνίδια οι παίκτες δεν είναι ισοδύναμοι οπότε είναι αναμενόμενο ο μέσος όρος πόντων να είναι χαμηλότερος από ότι αν ήταν ισοδύναμοι. Παίζει ρόλο βέβαια και το γεγονός ότι ο κάθε παίκτης στο σερβίς του έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να πάρει τον πόντο.

\rule{500pt}{0.7pt}

Ας βρεθεί και ο αναμενόμενος μέσος όρος πόντων αν είχαμε ισοδύναμους παίκτες.

Είναι πιο απλό από ότι δείχνει και αυτό είναι μια σημαντική υπόδειξη.
Ωραία κ.Δημήτρη.

Αν σχεδιάζαμε την κατανομή των σκορ θα βλέπαμε ότι αυτή είναι ασύμμετρη πράγμα που δικαιολογεί και αυτή την απόκλιση.

Θα βάλω κάποια στιγμή τη λύση για τον μέσο όρο πόντων που έχω κάνει. Για την ώρα την αφήνω σε άλλους αν θέλουν να ασχοληθούν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες