Η πονηρότερη

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10233
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η πονηρότερη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am

Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : x^2-1=\sqrt{x+1} .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη" :ohmy:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10836
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η πονηρότερη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 12:01 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am
Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : x^2-1=\sqrt{x+1} .
Πεδίο ορισμού [-1, \infty). Στο [-1, 0], φθίνουσα η μία, αύξουσα η άλλη άρα μοναδική λύση η x=-1 . Στο [0, \infty) γράφουμε f(x)=x^2-1 που βέβαια είναι αντιστρέψιμη. Η εξίσωση γράφεται f(x) = f^{-1}(x) που ισοδυναμεί με την f(x)=x, τουτέστιν x^2-x=x με ρίζα x=\phi.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Δεκ 27, 2018 1:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6145
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η πονηρότερη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 27, 2018 12:12 pm

Πονηρότερη.png
Πονηρότερη.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές


Αν f(x) = \sqrt {x + 1} \,\,\, με πεδίο ορισμού A = [ - 1, + \infty ) και σύνολο τιμών f(A) = [0, + \infty )

τότε αντιστρέφεται και η αντίστροφη της είναι :

{f^{ - 1}}:[0, + \infty ) \to [ - 1, + \infty ) με {f^{ - 1}}(x) = {x^2} - 1\,\,

αμφότερες προφανώς γνήσια αύξουσες συνεπώς οι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης είναι :

1. λόγω της προφανούς λύσης , x =  - 1 το B( - 1,0) και από την

2. f(x) = {f^{ - 1}}(x) = x έχω {x^2} - x - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi } το \boxed{C(\varphi ,\varphi )}


Με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου αλλά την αφήνω για τον κόπο πληκτρολόγησης .


Γρηγόρης Σταμέλος
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Δευ Αύγ 13, 2018 10:19 am

Re: Η πονηρότερη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γρηγόρης Σταμέλος » Πέμ Δεκ 27, 2018 12:47 pm

Προφανώς \displaystyle{\chi \neq 0}. Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε \displaystyle{\chi ^{4}-2\chi ^{2}+1= \chi +1 \Rightarrow \chi ^{4}-2\chi ^{2}-\chi = 0 \Rightarrow \chi ^{3}-2\chi -1 = 0 \Rightarrow (\chi +1)(\chi ^{2}-\chi -1)= 0 \Rightarrow \chi = -1} ή \displaystyle{\chi = (1 +\sqrt{5} )/2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7465
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η πονηρότερη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 27, 2018 1:36 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am
Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : x^2-1=\sqrt{x+1} .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη" :ohmy:
Η εξίσωση έχει την προφανή λύση \boxed{x=-1} και για x> -1 γράφεται \displaystyle \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} = 1 \Leftrightarrow (x - 1)\sqrt {x + 1}  = 1,

απ' όπου εύκολα προκύπτει ότι \boxed{x>1} Θεωρώ τη συνάρτηση \displaystyle f(t) = (t - 1)\sqrt {t + 1} ,t > 1 που είναι "1-1"

\displaystyle f(\phi ) = (\phi  - 1)\sqrt {\phi  + 1}  = (\phi  - 1)\sqrt {{\phi ^2}}  = {\phi ^2} - \phi  = 1 = (x - 1)\sqrt {x + 1}  \Rightarrow f(x) = f(\phi )\mathop  \Leftrightarrow \limits^{1 - 1} \boxed{x=\phi}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1738
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Η πονηρότερη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Δεκ 27, 2018 2:07 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am
Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : x^2-1=\sqrt{x+1} .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη" :ohmy:


x^{2}-1=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x^{2}=\sqrt{x+1}+1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-

1}\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\dfrac{x+1}{x},(2), \sqrt{x+1}=x^{2}-1,(2),

 (1),(2)\Rightarrow \dfrac{x+1}{x}=x^{2}-1\Leftrightarrow x^{3}-2x-1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}-x-1)=0,x=-1,x=\phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

....και οι περιορισμοί
x\geq -1,x\geq 1

δεκτή λύση το φ



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
nikkru
Δημοσιεύσεις: 336
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Η πονηρότερη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Δεκ 27, 2018 3:06 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am
Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : x^2-1=\sqrt{x+1} .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη" :ohmy:
Η εξίσωση έχει νόημα για x\epsilon A= \left \{ -1 \right \} \cup [1,+\infty ). To -1 είναι προφανής ρίζα, ενώ για x\epsilon = [1,+\infty ) έχουμε: x^2-1=\sqrt{x+1}  (1) \Leftrightarrow

(x+1)(x-1)=\sqrt{x+1} \Leftrightarrow\sqrt{x+1}^2(x-1)=\sqrt{x+1} \Leftrightarrow\sqrt{x+1}(x-1)=1 \Leftrightarrow λόγω της (1)

(x^2-1)(x-1)=1\Leftrightarrow x^3-x^2-x=0 \Leftrightarrow x^2-x-1=0.

Επομένως, λόγω περιορισμών, ρίζες της εξίσωσης: x^2-1=\sqrt{x+1} είναι οι x=-1 και x=\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες