Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10575
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξίσωση με τρεις αγνώστους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 24, 2018 8:02 pm

Α) Λύστε ως προς x την εξίσωση : \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=5 . Β) Βρείτε τους αριθμούς x,y,z

αν γνωρίζετε ότι είναι θετικοί ακέραιοι , με x<y<z και επίσης : x+y+z=35 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εξίσωση με τρεις αγνώστους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Δεκ 25, 2018 11:29 am

Χρόνια πολλά σε όλους!

Είναι  \displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = 5 (1).

Είναι  \displaystyle xyz \ne 0 .

Α) Λύνουμε ως προς x:  \displaystyle z{x^2} + \left( {{y^2} - 5zy} \right)x + {z^2}y = 0 (2)

Β)  \displaystyle x,y,z > 0, ακέραιοι.

Είναι  \displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{z} < 2 \Leftrightarrow 5 < 2 + \frac{z}{x} \Leftrightarrow z > 3x .

Αν  \displaystyle x \ge 7 , τότε  \displaystyle y \ge 8,\;\;z \ge 21 , αδύνατο.

Άρα  \displaystyle 1 \le x \le 6 .

Επίσης είναι  \displaystyle \frac{z}{x} < 5 \Leftrightarrow z < 5x , οπότε z=4x

Τότε η (1) γράφεται  \displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{{4x}} = 1 (3)

Επίσης είναι  \displaystyle 5x + y = 35 , οπότε η (3) γίνεται  \displaystyle \frac{x}{{35 - 5x}} + \frac{{35 - 5x}}{{4x}} = 1 \Leftrightarrow 49{x^2} - 490x + 1225 = 0 \Leftrightarrow {\left( {7x - 35} \right)^2} = 0 ,

οπότε x=5, y=10, z=20.


Το βήμα (Α) είναι απαραίτητο;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης