Τρίγωνα μετά τα κάλαντα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρίγωνα μετά τα κάλαντα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 24, 2018 12:00 pm

Τρίγωνα  μετά  τα κάλαντα.png
Τρίγωνα μετά τα κάλαντα.png (28.19 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές
Αν σας ζητήσω να μου κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , στο εσωτερικό του οποίου να

βρίσκεται σημείο O , ώστε OA=8,OB=6,OC=10 , θα δυσκολευτείτε αρκετά .

Αντ' αυτού σας καλώ να ελέγξετε αν οι παρακάτω κινήσεις μου είναι σωστές : Έστω σημείο A

στον κύκλο (O,8) και ακτίνα OB του (O,6) κάθετη στην OA . Η μεσοκάθετη της OS

τέμνει τον (O,6) στο B , ενώ η μεσοκάθετη της AB τέμνει τον (O,10) στο C .

Δείξτε ότι αυτό είναι το τρίγωνο θέλαμε και με την ευκαιρία υπολογίστε τη γωνία \widehat{AOB} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6199
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τρίγωνα μετά τα κάλαντα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Δεκ 24, 2018 5:07 pm

Βλέπω ότι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου ισούται με \displaystyle{2\sqrt{25+12\sqrt{3}}.}

Τώρα είναι φανερό ότι \displaystyle{\cos \angle AOB=-\frac{\sqrt{3}}{2},} οπότε \displaystyle{\angle AOB=150^o.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνα μετά τα κάλαντα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 24, 2018 5:24 pm

Έστω M το μέσο του AB.

τρίγωνα μετά τα κάλαντα.png
τρίγωνα μετά τα κάλαντα.png (42.99 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές
Η μεσοκάθετη {g_2} στο OS μας εξασφαλίζει το \vartriangle OSB ότι είναι ισόπλευρο και αφού λόγω Π. Θ. AS = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10,

αν \widehat {ABC} = 60^\circ θα είναι ίσα τα αμβλυγώνια τρίγωνα :ASB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,COB(έμμεσο κριτήριο) , οπότε το τρίγωνο ABC θα είναι ισόπλευρο

άρα η CM θα είναι μεσοκάθετη στο AB. Προφανώς δε \widehat {AOB} = 90^\circ  + 60^\circ  = 150^\circ .


Δεν ξέρω αν η κατασκευή είναι του k. KARKAR .ούτως ή άλλως αξίζει :clap2:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11921
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνα μετά τα κάλαντα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 24, 2018 6:20 pm

Ουσιαστικά η κατασκευή βασίζεται στην στροφή κατά 60^o του BOC ώστε να έλθει στην θέση ASB, που είδαμε εδώ. Ισχύει για οποιαδήποτε τρία μεγέθη a,b,c με a^2+b^2=c^2 στην θέση των 6,8,10.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνα μετά τα κάλαντα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 24, 2018 6:29 pm

μετά τα Χριστούγεννα Κάλαντα.png
μετά τα Χριστούγεννα Κάλαντα.png (28.66 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

Έστω τρίγωνο KSC \to (8,10,6). Έξω απ’ αυτό σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ASK και μετά πάλι το ισόπλευρο τρίγωνο ABC που είναι αυτό που θέλω.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρίγωνα μετά τα κάλαντα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 24, 2018 6:53 pm

Αφορμή για την "ανακάλυψη" υπήρξε θέμα διαγωνισμού , με την εξής διατύπωση : Στο εσωτερικό

ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , βρίσκεται σημείο O , ώστε : OA=4,OB=3,OC=5 .

Υπολογίστε τη γωνία \widehat{AOB} " . Ευλόγως αναρωτήθηκα , πώς άραγε να κατασκευάζεται ένα τέτοιο

τρίγωνο ; Συνήθως το ερώτημα που μπαίνει , είναι : υπολογίστε την πλευρά ή το εμβαδόν αυτού

του τριγώνου , κάτι που σίγουρα έχουμε ξαναδεί στο mathematica . Κάνοντας λοιπόν τους κύκλους

και διαπιστώνοντας ότι για A(0,4) , η τετμημένη του B είναι το -\dfrac{3}{2}, με σκέψεις παρόμοιες

με αυτές του Νίκου , επινόησα την κατασκευή , διπλασιάζοντας τα μήκη ώστε αν κανείς εργαστεί

με συντεταγμένες , να έχει τουλάχιστον κάτι ακέραιοι ! Ενόσω έγραφα να και οι παραπομπές ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνα μετά τα κάλαντα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 25, 2018 10:53 am

Doloros έγραψε:
Δευ Δεκ 24, 2018 6:29 pm
μετά τα Χριστούγεννα Κάλαντα.png


Έστω τρίγωνο KSC \to (8,10,6). Έξω απ’ αυτό σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ASK και μετά πάλι το ισόπλευρο τρίγωνο ABC που είναι αυτό που θέλω.
:clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης