Λεπτό σημείο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10077
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λεπτό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 05, 2018 7:20 am

Λεπτό  σημείο.png
Λεπτό σημείο.png (5.78 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Βρείτε το σημείο A , αν γνωρίζετε ότι : x^2+y^2=68 και x^2-y^2=24 . Απαραίτητη προϋπόθεση

για να αποκτήσετε δικαίωμα απάντησης : Να δημοσιεύσετε δύο ( διαφορετικές ) λύσεις . Αμ πώς :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7297
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λεπτό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 05, 2018 9:25 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 05, 2018 7:20 am
Λεπτό σημείο.pngΒρείτε το σημείο A , αν γνωρίζετε ότι : x^2+y^2=68 και x^2-y^2=24 . Απαραίτητη προϋπόθεση

για να αποκτήσετε δικαίωμα απάντησης : Να δημοσιεύσετε δύο ( διαφορετικές ) λύσεις . Αμ πώς :lol:


α) Από τη λύση του συστήματος παίρνω \displaystyle x = \sqrt {46} ,y = \sqrt {22} και τελειώνουμε.
Λεπτό σημείο.png
Λεπτό σημείο.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
β) Από Θεωρήματα διαμέσων: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{x^2} + {y^2} = 2{m_a}^2 + {a^2}/2\\ 
\\ 
{x^2} - {y^2} = 2aMH 
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
{m_a} = 5\\ 
\\ 
MH = 2 
\end{array} \right.

και το σημείο τομής του κύκλου (M, 5) με την κάθετη από το H στη BC είναι το ζητούμενο σημείο A.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4157
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Λεπτό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Δεκ 05, 2018 8:19 pm

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω δύο διαφορετικές λύσεις. Μην ισχυριστεί κανείς ότι μοιάζουν... Η μια είναι με ύλη κορμού και η άλλη με ύλη κατεύθυνσης... :P


05-12-2018 Γεωμετρία.jpg
05-12-2018 Γεωμετρία.jpg (56.97 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
1η ΛΥΣΗ:


Φέρνω το ύψος AD=u. Έστω BD=t, οπότε CD=6-t.

Τότε  \displaystyle \begin{array}{l} 
{x^2} = {u^2} + {t^2}\\ 
{y^2} = {u^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} 
\end{array}

Αφαιρώντας κατά μέλη, βρίσκουμε t=5.

Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε  \displaystyle u = \sqrt {21} κι έχουμε προσδιορίσει τη θέση του A.

2η ΛΥΣΗ:

Έστω B(0,0), C(6, 0), A(a,b), a, b>0.

Τότε  \displaystyle \begin{array}{l} 
\left( {AB} \right) = x \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {x^2}\\ 
\left( {AC} \right) = y \Leftrightarrow {\left( {a - 6} \right)^2} + {b^2} = {y^2} 
\end{array}

Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε a=5

Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε  \displaystyle {a^2} + {b^2} - 6a = 16 , οπότε  \displaystyle b = \sqrt {21} κι έχουμε προσδιορίσει τη θέση του A.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4157
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Λεπτό σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Δεκ 05, 2018 8:36 pm

Οι τύψεις για την εξόφθαλμη απάτη στην προηγούμενη ανάρτηση με κατατρύχουν. Προφανώς οι λύσεις είναι ίδιες. Το ομολογώ και καταθέτω ακόμα μία για εξιλέωση. Περιγράφω τα βήματα. Κατασκευάζω τον κύκλο με εξίσωση x^2+y^2=68. Κατόπιν την υπερβολή με εξίσωση x^2-y^2=24 και εντοπίζω το κοινό τους σημείο A στο θετικό τεταρτημόριο. Φέρω τις κάθετες AC και AD στους άξονες x'x, y'y αντίστοιχα. Κατασκευάζω τους κύκλους C_1: (A, AD και C_2: (C, 6) που τέμνονται στο B. To ABC είναι το τρίγωνο της υποθέσεως, άρα προσδιορίσαμε το A.


05-12-2018 Γεωμετρία.png
05-12-2018 Γεωμετρία.png (64.29 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές
Συνημμένα
05-12-2018 Γεωμετρία.ggb
(24.18 KiB) Καμία μεταφόρτωση ακόμη


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6005
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λεπτό σημείο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 05, 2018 9:53 pm

Πρώτη λύση
λεπτό σημείο 3.png
λεπτό σημείο 3.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές
Εύκολα έχουμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο .

π.χ. A{B^2} < A{C^2} + B{C^2} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} < 36 \Leftrightarrow 24 < 36 άρα η \widehat C < 90^\circ .Αν AO \bot BC

Από το γενικευμένο Π. Θ. έχω : OC = 1 . Με Π. Θ. στα ορθογώνια τρίγωνα OAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAC

\left\{ \begin{gathered} 
  O{A^2} = {x^2} - 25 \hfill \\ 
  O{A^2} = {y^2} - 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow 2O{A^2} = 68 - 26 = 42 \Rightarrow O{A^2} = 21 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \sqrt {46}  \hfill \\ 
  y = \sqrt {22}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

ή επιλέγω σύστημα αξόνων με αρχή το O

Και οριζόντιο άξονα την BC. Θα είναι A(0,a)\,\,,\,\,a > 0. B( - 5,0)\,\,,\,\,C(1,0).

\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = {a^2} + 25 \hfill \\ 
  {y^2} = {a^2} + 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow 2{a^2} + 26 = 68 \Rightarrow {a^2} = 21 και άρα : \left\{ \begin{gathered} 
  x = \sqrt {46}  \hfill \\ 
  y = \sqrt {22}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.




Βλέπω τώρα ότι μοιάζει βεβαίως με του Γιώργου του Ρίζου αλλά όχι πλήρως

Δεύτερη λύση
Σημείο Λεπτό_0.png
Σημείο Λεπτό_0.png (27.46 KiB) Προβλήθηκε 74 φορές
Γράφω το κύκλο (A,y) και τέμνει την ευθεία AB στα E,Z με το E ανάμεσα στα A,\,\,B και την BC (ακόμα στο D.

Επειδή BE \cdot BZ = BD \cdot BC \Rightarrow (x - y)(x + y) = 6BD \Rightarrow 24 = 6BD \Rightarrow \boxed{BD = 4} . Έστω AK \bot BC , επειδή το τρίγωνο ADC είναι ισοσκελές θα είναι DK = KC = 1.

Τώρα προεκτείνω τη BC πέρα των B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C κατά τμήματα SB = CT = 2.

Θέτω AS = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = v και έχω από γενικευμένο Π. Θ. στα αμβλυγώνια τρίγωνα BSA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CTA:

\left\{ \begin{gathered} 
  {u^2} = {2^2} + {x^2} + 2 \cdot 2 \cdot 5 \hfill \\ 
  {v^2} = {2^2} + {y^2} + 2 \cdot 2 \cdot 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow {u^2} + {v^2} = 100 = S{T^2}

Δηλαδή το τρίγωνο AST είναι ορθογώνιο στο A και άρα A{K^2} = 7 \cdot 3 = 21 μετά με Π. Θ. έχω εύκολα τα ζητούμενα


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Λεπτό σημείο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Δεκ 06, 2018 12:51 pm

1) Θεωρώ το σχεδόν ισοδύναμο σύστημα

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& x+y = 68 \cr 
& x-y = 24 \cr 
\end{aligned} 
}

και το επιλύω όπως στο σχήμα. Στο σημείο A=(24,0) και με βάση AB=44
κατασκευάζω ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ορθή την C,
οι συντεταγμένες του οποιου είναι οι ρίζες του συστήματος.

Το αρχικό κατόπιν επιλύεται κατασκευάζοντας τις ρίζες \sqrt{46}, \sqrt{22}.

2) Δεν έχω δεύτερη
Συνημμένα
leptosimio.png
leptosimio.png (212.74 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης