Λεπτό σημείο

KARKAR

: Λεπτό σημείο.png (5.78 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Βρείτε το σημείο

, αν γνωρίζετε ότι : x^2+y^2=68

και

. Απαραίτητη προϋπόθεση

για να αποκτήσετε δικαίωμα απάντησης : Να δημοσιεύσετε δύο ( διαφορετικές ) λύσεις . Αμ πώς

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 05, 2018 7:20 am
Λεπτό σημείο.pngΒρείτε το σημείο , αν γνωρίζετε ότι : και . Απαραίτητη προϋπόθεση

για να αποκτήσετε δικαίωμα απάντησης : Να δημοσιεύσετε δύο ( διαφορετικές ) λύσεις . Αμ πώς

α) Από τη λύση του συστήματος παίρνω $\displaystyle x = \sqrt {46} ,y = \sqrt {22}$ και τελειώνουμε.

: Λεπτό σημείο.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές

β) Από Θεωρήματα διαμέσων: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2{m_a}^2 + {a^2}/2\\ \\ {x^2} - {y^2} = 2aMH \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m_a} = 5\\ \\ MH = 2 \end{array} \right.$

και το σημείο τομής του κύκλου (M, 5)

με την κάθετη από το

στη

είναι το ζητούμενο σημείο

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω δύο διαφορετικές λύσεις. Μην ισχυριστεί κανείς ότι μοιάζουν... Η μια είναι με ύλη κορμού και η άλλη με ύλη κατεύθυνσης...

: 05-12-2018 Γεωμετρία.jpg (56.97 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

1η ΛΥΣΗ:

Φέρνω το ύψος AD=u

. Έστω

, οπότε

.

Τότε $\displaystyle \begin{array}{l} {x^2} = {u^2} + {t^2}\\ {y^2} = {u^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} \end{array}$

Αφαιρώντας κατά μέλη, βρίσκουμε t=5

.

Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε $\displaystyle u = \sqrt {21}$ κι έχουμε προσδιορίσει τη θέση του

.

2η ΛΥΣΗ:

Έστω B(0,0), C(6, 0), A(a,b), a, b>0

.

Τότε $\displaystyle \begin{array}{l} \left( {AB} \right) = x \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {x^2}\\ \left( {AC} \right) = y \Leftrightarrow {\left( {a - 6} \right)^2} + {b^2} = {y^2} \end{array}$

Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε a=5

Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε $\displaystyle {a^2} + {b^2} - 6a = 16$ , οπότε $\displaystyle b = \sqrt {21}$ κι έχουμε προσδιορίσει τη θέση του

.

Οι τύψεις για την εξόφθαλμη απάτη στην προηγούμενη ανάρτηση με κατατρύχουν. Προφανώς οι λύσεις είναι ίδιες. Το ομολογώ και καταθέτω ακόμα μία για εξιλέωση. Περιγράφω τα βήματα. Κατασκευάζω τον κύκλο με εξίσωση x^2+y^2=68

. Κατόπιν την υπερβολή με εξίσωση x^2-y^2=24

και εντοπίζω το κοινό τους σημείο

στο θετικό τεταρτημόριο. Φέρω τις κάθετες

και

στους άξονες x'x, y'y

αντίστοιχα. Κατασκευάζω τους κύκλους C_1: (A, AD

και

που τέμνονται στο

. To

είναι το τρίγωνο της υποθέσεως, άρα προσδιορίσαμε το

.

: 05-12-2018 Γεωμετρία.png (64.29 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές

Πρώτη λύση

: λεπτό σημείο 3.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές

Εύκολα έχουμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο .

π.χ. $A{B^2} < A{C^2} + B{C^2} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} < 36 \Leftrightarrow 24 < 36$ άρα η $\widehat C < 90^\circ$ .Αν $AO \bot BC$

Από το γενικευμένο Π. Θ. έχω : OC = 1

. Με Π. Θ. στα ορθογώνια τρίγωνα $OAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAC$

$\left\{ \begin{gathered} O{A^2} = {x^2} - 25 \hfill \\ O{A^2} = {y^2} - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 2O{A^2} = 68 - 26 = 42 \Rightarrow O{A^2} = 21$ $\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \sqrt {46} \hfill \\ y = \sqrt {22} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

ή επιλέγω σύστημα αξόνων με αρχή το

Και οριζόντιο άξονα την

. Θα είναι $A(0,a)\,\,,\,\,a > 0$ . $B( - 5,0)\,\,,\,\,C(1,0)$ .

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} = {a^2} + 25 \hfill \\ {y^2} = {a^2} + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 2{a^2} + 26 = 68 \Rightarrow {a^2} = 21$ και άρα : $\left\{ \begin{gathered} x = \sqrt {46} \hfill \\ y = \sqrt {22} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Βλέπω τώρα ότι μοιάζει βεβαίως με του Γιώργου του Ρίζου αλλά όχι πλήρως

Δεύτερη λύση

: Σημείο Λεπτό_0.png (27.46 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Γράφω το κύκλο (A,y)

και τέμνει την ευθεία

στα

με το

ανάμεσα στα $A,\,\,B$ και την

(ακόμα στο

.

Επειδή $BE \cdot BZ = BD \cdot BC \Rightarrow (x - y)(x + y) = 6BD \Rightarrow 24 = 6BD \Rightarrow \boxed{BD = 4}$ . Έστω $AK \bot BC$ , επειδή το τρίγωνο ADC

είναι ισοσκελές θα είναι DK = KC = 1

.

Τώρα προεκτείνω τη

πέρα των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ κατά τμήματα SB = CT = 2

.

Θέτω $AS = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = v$ και έχω από γενικευμένο Π. Θ. στα αμβλυγώνια τρίγωνα $BSA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CTA$ :

$\left\{ \begin{gathered} {u^2} = {2^2} + {x^2} + 2 \cdot 2 \cdot 5 \hfill \\ {v^2} = {2^2} + {y^2} + 2 \cdot 2 \cdot 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {u^2} + {v^2} = 100 = S{T^2}$

Δηλαδή το τρίγωνο AST

είναι ορθογώνιο στο

και άρα $A{K^2} = 7 \cdot 3 = 21$ μετά με Π. Θ. έχω εύκολα τα ζητούμενα

nickchalkida

1) Θεωρώ το σχεδόν ισοδύναμο σύστημα

$\displaystyle{ \begin{aligned} & x+y = 68 \cr & x-y = 24 \cr \end{aligned} }$

και το επιλύω όπως στο σχήμα. Στο σημείο A=(24,0)

και με βάση AB=44

κατασκευάζω ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ορθή την

,
οι συντεταγμένες του οποιου είναι οι ρίζες του συστήματος.

Το αρχικό κατόπιν επιλύεται κατασκευάζοντας τις ρίζες $\sqrt{46}$ , $\sqrt{22}$ .

2) Δεν έχω δεύτερη

Λεπτό σημείο

Λεπτό σημείο

Re: Λεπτό σημείο

Re: Λεπτό σημείο

Re: Λεπτό σημείο

Re: Λεπτό σημείο

Re: Λεπτό σημείο

Μέλη σε σύνδεση