Ριζική διαφορά

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11882
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ριζική διαφορά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 24, 2018 11:01 pm

Ριζική  διαφορά.png
Ριζική διαφορά.png (13.5 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Στο τετράπλευρο του σχήματος η BC διαφέρει από την AB κατά 3 .

Κατά πόσο διαφέρει από την DC η - προφανώς μεγαλύτερη - AD ;



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Ριζική διαφορά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Νοέμ 24, 2018 11:46 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 24, 2018 11:01 pm
Ριζική διαφορά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος η BC διαφέρει από την AB κατά 3 .

Κατά πόσο διαφέρει από την DC η - προφανώς μεγαλύτερη - AD ;
Ριζική διαφορά.png
Ριζική διαφορά.png (12.06 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές
.
Αν N σημείο της BC με BN=BA=a τότε οι οξείες γωνίες του ABN είναι από 30^o και το ADK ισόπλευρο.

Έτσι, DA-DC=DK-DC=CK=\sqrt{3} αφού CN=3 και η γωνία N είναι 30^o.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 789
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ριζική διαφορά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Νοέμ 25, 2018 12:44 pm

Με τριγωνομετρία:

Επειδή το ABCD είναι τετράπλευρο θα έχει άθροισμα γωνιών 360^{\circ}. Άρα \widehat{D}=60^{\circ}.
Έστω ότι οι προεκτάσεις των DA και CB τέμνονται στο σημείο N. Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο DNC παίρνουμε ότι \widehat{N}=30^{\circ} και από το BNA ότι \widehat{N\\B\\A}=60^{\circ}. Είναι \sin \widehat{BNA}=\sin 30^{\circ}=\dfrac{\alpha }{BN}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow BN=2\alpha , \cos \widehat{BNA}=\cos30^{\circ}=\dfrac{AN}{2\alpha }=\dfrac{\sqrt{3}}{2 }\Leftrightarrow AN=\alpha \sqrt{3}
Στο τρίγωνο DCN έχουμε:
\cos \widehat{BNA}=\cos30^{\circ}=\dfrac{NC}{ND}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{2\alpha+\alpha +3 }{\alpha \sqrt{3}+AD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow 6\alpha +6=3\alpha +\sqrt{3}AD\Leftrightarrow AD=...\dfrac{3\alpha +6}{\sqrt{3}}=  \sqrt{3}\left ( \alpha +2 \right ), \sin \widehat{BNA}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{DC}{ND}\Leftrightarrow DC=\dfrac{ \alpha \sqrt{3} +\sqrt{3}\left ( \alpha +2 \right )}{2}=\dfrac{\sqrt{3}\left ( \alpha +\alpha +2 \right ) }{2}=..\dfrac{2\sqrt{3}\left ( \alpha +1 \right )}{2}=\sqrt{3}\left ( \alpha +1 \right ).
Άρα AD-DC=\sqrt{3}\left ( \alpha +2 \right )-\sqrt{3}\left ( \alpha +1 \right )=\sqrt{3}\left ( \alpha -\alpha +2-1 \right )=\sqrt{3}.
Συνημμένα
Capture.PNG
Capture.PNG (12.52 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Δεκ 28, 2018 4:28 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4712
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ριζική διαφορά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 25, 2018 1:37 pm

Καλησπέρα σε όλους. Με Τριγωνομετρία επίσης, με τις ελάχιστες παρεμβάσεις στο σχήμα. Αναγκαστικά έφερα τη DB.
(Πάντως, αν κάναμε καλλιστεία λύσεων, θα ψήφιζα τη λύση του nikkru).


25-11-2018 Γεωμετρία.jpg
25-11-2018 Γεωμετρία.jpg (72.52 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές

Στο ABD είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{a}{{BD}} .

Στο BDC είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \left( {120^\circ  - \varphi } \right) = \frac{{a + 3}}{{BD}} .

Οπότε  \displaystyle \frac{{\sigma \upsilon \nu \left( {120^\circ  - \varphi } \right)}}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{{a + 3}}{a} \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu \varphi  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{{a + 3}}{a} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\varepsilon \varphi \varphi  = 1 + \frac{3}{a}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \varphi  = \sqrt 3  + \frac{{2\sqrt 3 }}{a} .

Στο ABD είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi \varphi  = \frac{{AD}}{a} \Leftrightarrow AD = a\varepsilon \varphi \varphi  = a\sqrt 3  + 2\sqrt 3 .

Στο BDC είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi \left( {120^\circ  - \varphi } \right) = \frac{{DC}}{{a + 3}} \Leftrightarrow DC = \left( {a + 3} \right)\frac{{\varepsilon \varphi \varphi  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \varepsilon \varphi \varphi  - 1}} = \left( {a + 3} \right)\frac{{2\sqrt 3  + \frac{{2\sqrt 3 }}{a}}}{{2 + \frac{6}{a}}}

 \displaystyle  = \left( {a + 3} \right)\frac{{a\sqrt 3  + \sqrt 3 }}{{a + 3}} = a\sqrt 3  + \sqrt 3 .

Οπότε  \displaystyle DC - AD = \sqrt 3 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης