Απλοποιησάρα
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Απλοποιησάρα
Στο παρόν θέμα το σύμβολο σημαίνει τον διψήφιο και όχι το γινόμενο
Λοιπόν , βρείτε λύσεις για την παρακάτω - σωστή εν τέλει - απλοποίηση :
Λοιπόν , βρείτε λύσεις για την παρακάτω - σωστή εν τέλει - απλοποίηση :
Λέξεις Κλειδιά:
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Απλοποιησάρα
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 24, 2018 10:59 pmΤο κλασικό είναι το
Υπάρχουν και άλλα π.χ. (αυτά είναι όλα, το αφήνω ως άσκηση).
Σε ένα αρθράκι μου με τίτλο "Ο τυχερός τυπογράφος" στο βιβλίο μου με τον Ν. Σπανουδάκη, "Μαθηματικά για όλους, τ. 10" για τον διαγωνισμό Καγκουρό του 2016 είχα μαζέψει πολλά παρόμοια και προεκτάσεις. (Τα έγραφα στην ισοδύναμη μορφή και λοιπά της μορφής και πολλά άλλα). Ακολουθεί μικρό απόσπασμα.
Πρόβλημα 2. Να βρεθούν μερικά παραδείγματα όπου ισχύει η ισότητα Δεν ψάχνουμε όλες τις περιπτώσεις αλλά αρκούν μερικές. Κατόπιν να βρεθούν παραδείγματα με .
Ο πίνακας που ακολουθεί καταγράφει μερικές τέτοιες περιπτώσεις. Τα κοινά γινόμενα ανά ζεύγη είναι 3388, 3270, 2928, 12972 και 51888, αντίστοιχα.
- Δύσκολα προβλήματα μας βάζεις, απάντησε ο τυπογράφος, αλλά στην προσπάθειά μου να βρω αριθμούς με πάλι έκανα λάθος με το . Στην θέση της ισότητας στα γινόμενα που μου ζήτησες, εγώ έψαξα την
- Και λοιπόν, είπε ο κ. Τζίνης, βρήκες τέτοια νούμερα;
- Φυσικά. Αφού ξέρεις ότι τα Μαθηματικά είναι το χόμπι μου.
Πίνακας: και και και και
Κατόπιν το άρθρο έχει παραδείγματα με πιο σύνθετες περιπτώσεις όπως
και
και
και άλλα.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Νοέμ 26, 2018 12:52 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Απλοποιησάρα
Καλημέρα σε όλους. Μόλις είδα την ανάρτηση του Μιχάλη και τη διαφορετική μορφή που παρουσιάζει.
Με το όμορφο αυτό θέμα (στη αρχική μορφή) έχει ασχοληθεί και ο Alfred Posamentier στο βιβλίο του Math Wonders to Inspire Teachers and Students.
Η μορφή του κλάσματος και της σχηματιζόμενης εξίσωσης είναι , με τα φυσικούς, θετικούς αριθμούς.
Επιλύοντας την εξίσωση π.χ. ως προς , έχουμε
Ο παρονομαστής είναι διάφορος του μηδενός, γιατί , αφού είναι φυσικοί αριθμοί.
Η συνθήκη που πρέπει να ισχύει είναι ο να είναι φυσικός άρα .
Για να ελέγξουμε τις περιπτώσεις, φτιάχνουμε πίνακα διπλής εισαγωγής:
Παρατηρούμε ότι για και ο είναι φυσικός . Πράγματι, ... κ.ο.κ.
Με το όμορφο αυτό θέμα (στη αρχική μορφή) έχει ασχοληθεί και ο Alfred Posamentier στο βιβλίο του Math Wonders to Inspire Teachers and Students.
Η μορφή του κλάσματος και της σχηματιζόμενης εξίσωσης είναι , με τα φυσικούς, θετικούς αριθμούς.
Επιλύοντας την εξίσωση π.χ. ως προς , έχουμε
Ο παρονομαστής είναι διάφορος του μηδενός, γιατί , αφού είναι φυσικοί αριθμοί.
Η συνθήκη που πρέπει να ισχύει είναι ο να είναι φυσικός άρα .
Για να ελέγξουμε τις περιπτώσεις, φτιάχνουμε πίνακα διπλής εισαγωγής:
Παρατηρούμε ότι για και ο είναι φυσικός . Πράγματι, ... κ.ο.κ.
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Απλοποιησάρα
(1)
Ισχύει ότι και
καθώς αποτελούν ψηφια δεκάδων των αριθμών ab και bc αντίστοιχα. Ακόμη, αφού είναι παρανομαστής κλάσματος.
Έχουμε: . Δηλαδή υπάρχει αριθμός
τέτοιος ώστε και
Είναι: (2)
και (3)
Απο τις σχέσεις (2) και (3)
συμπεραίνουμε πως το b είναι πολλαπλάσιο των a και c. Απο την (2) έχουμε ότι . Η σχέση (3) βρίσκουμε πως ισχύει για n=11,13,16,19 οπότε βρίσκομε τις αντίστοιχες τριάδες (a,b,c):(111),(2,6,5),(1,6,4),(1,9,5). Άρα έχουμε τους αριθμούς . Αντικαθιστώντας στην σχέση (1) παρατηρούμε πως ισχύουν.
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Απλοποιησάρα
Θεοδόση, για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα, εφαρμόζεται στην ισότητα ;ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:04 pm
Έχουμε: . Δηλαδή υπάρχει αριθμός
τέτοιος ώστε και
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Απλοποιησάρα
Έχετε δίκιο κύριε Μιχάλη.Το αυθαίρετο βήμα στην λύση μου, ήταν να υποθέσω πως υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε να διαιρεί ταυτόχρονα το και το . Το ίδιο λάθος έκανα και με τα και . Εκτός κι αν αποδείξω πως το είναι πολλαπλάσιο των καιMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:27 pmΘεοδόση, για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα, εφαρμόζεται στην ισότητα ;ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:04 pm
Έχουμε: . Δηλαδή υπάρχει αριθμός
τέτοιος ώστε και
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Απλοποιησάρα
Θεοδόσιε, πρώτα απ' όλα εύγε που ασχολείσαι με τα θέματα του φόρουμ. Εύχομαι να το απολαύσεις.ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 25, 2018 4:37 pmΕκτός κι αν αποδείξω πως το είναι πολλαπλάσιο των και
Το παραπάνω για το δεν είναι σωστό, δηλαδή δεν προκύπτει από τις υποθέσεις. 'Ενας τρόπος να το δεις
είναι από τις λύσεις που έχεις ήδη προσδιορίσει. Σε αυτές το δεν
είναι πολλαπλάσιο του .
Re: Απλοποιησάρα
Ενδιαφέροντα στοιχεία για προηγούμενες αναφορές στο πρόβλημα . Να δούμε πως προέκυψε στον θεματοδότη :
Προσπαθώντας να εξακριβώσω την κλίση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος αυτός , βρήκα
ότι σ' αυτήν την ευθεία , ανήκουν τα σημεία και , συνεπώς η κλίση της είναι :
.
Η παρατήρηση της εντυπωσιακότητας του αποτελέσματος , παρήγαγε το θεματάκι ...
Αν είχα κάνει αλλιώς την απλοποίηση .... γιοκ απλοποιησάρα
Προσπαθώντας να εξακριβώσω την κλίση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος αυτός , βρήκα
ότι σ' αυτήν την ευθεία , ανήκουν τα σημεία και , συνεπώς η κλίση της είναι :
.
Η παρατήρηση της εντυπωσιακότητας του αποτελέσματος , παρήγαγε το θεματάκι ...
Αν είχα κάνει αλλιώς την απλοποίηση .... γιοκ απλοποιησάρα
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Απλοποιησάρα
Για να κλείνει, ας δώσω απόδειξη (τα κύρια βήματα):
Έχουμε , οπότε . Άρα ο θα διαιρεί το δεξί μέλος, αφού διαιρεί το αριστερό. Οπότε είτε ή , που σημαίνει ότι είτε (μη ξεχνάμε ότι αφού εμφανίζεται στον παρονομαστή) ή το είναι ένα από τα . Με άλλα λόγια έχουμε κάποιο από τα .
Βάζοντας αυτές τις σχέσεις πίσω στην μπορούμε εύκολα να βρούμε τις λύσεις, π.χ. με λίγες δοκιμές αλλά και με μικρά τεχνάσματα για να γλυτώσουμε κόπο. Π.χ. η δίνει , οπότε συνεπώς ή ή , και λοιπά.
Έχουμε , οπότε . Άρα ο θα διαιρεί το δεξί μέλος, αφού διαιρεί το αριστερό. Οπότε είτε ή , που σημαίνει ότι είτε (μη ξεχνάμε ότι αφού εμφανίζεται στον παρονομαστή) ή το είναι ένα από τα . Με άλλα λόγια έχουμε κάποιο από τα .
Βάζοντας αυτές τις σχέσεις πίσω στην μπορούμε εύκολα να βρούμε τις λύσεις, π.χ. με λίγες δοκιμές αλλά και με μικρά τεχνάσματα για να γλυτώσουμε κόπο. Π.χ. η δίνει , οπότε συνεπώς ή ή , και λοιπά.
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Απλοποιησάρα
Σας ευχαριστώ, ήμουν αφηρημένος. Το οτι δεν σημαίνει πως το είναι πολλαπλάσιο του καθώς , Αυτό ισχύει μόνο όταν οπότε . Στην ουσία εγώ πήρα την ειδική περίπτωση στην οποία ενώ το σωστό είναι οτι . Σωστή και όμορφη λύση είναι η δική σας.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 25, 2018 5:38 pmΘεοδόσιε, πρώτα απ' όλα εύγε που ασχολείσαι με τα θέματα του φόρουμ. Εύχομαι να το απολαύσεις.ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 25, 2018 4:37 pmΕκτός κι αν αποδείξω πως το είναι πολλαπλάσιο των και
Το παραπάνω για το δεν είναι σωστό, δηλαδή δεν προκύπτει από τις υποθέσεις. 'Ενας τρόπος να το δεις
είναι από τις λύσεις που έχεις ήδη προσδιορίσει. Σε αυτές το δεν
είναι πολλαπλάσιο του .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 18 επισκέπτες