Η κορυφή της στέγης

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10108
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η κορυφή της στέγης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 11, 2018 2:02 pm

Η  κορυφή της  στέγης.png
Η κορυφή της στέγης.png (6.25 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος AS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3141
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Η κορυφή της στέγης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Οκτ 11, 2018 3:48 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 2:02 pm
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος AS .
shape.png
shape.png (16.99 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές
{33^2} - {y^2}\mathop  = \limits^{A{D^2}} {39^2} - {(60 - y)^2} \Leftrightarrow y = \dfrac{{132}}{5}\, \wedge \,AD = \dfrac{{99}}{5}

 \triangleleft SAC \sim  \triangleleft BDA \Rightarrow \dfrac{x}{{39}} = \dfrac{{132/5}}{{99/5}} \Leftrightarrow x = 52


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Η κορυφή της στέγης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Οκτ 11, 2018 4:10 pm

Επειδή \angle SBC= \angle SAC = 1^L το SBAC είναι περιγράψιμο.

Από το A φέρω κάθετο στην BC η οποία τέμνει τον κύκλο στο E.
Έστω BK =x και AK=y. Τότε θα είναι

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& x^2 + y^2 = 33^3 \\ 
& (60-x)^2+y^2 = 39^2 \\ 
\end{aligned} 
}

Επιλύοντας τό σύστημα βρίσκω x=26.4, y=19.8.
Από δύναμη σημείου K βρίσκω

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& BK \cdot KC = AK \cdot KE \rightarrow KE = 44.8 \\ 
\end{aligned} 
}

Επειδή τώρα AE, BS είναι κάθετες στην BC είναι και παράλληλες. Άρα AESB ισοσκελές τραπέζιο.
Αρα EF = AK = 19.8 και KF = BS = 25. Τέλος με πυθαγόρειο στο SFA βρίσκω
\displaystyle{ 
SA = \sqrt{26.4^2 + 44.8^2}=52 
}
Συνημμένα
stegi.png
stegi.png (348 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7323
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η κορυφή της στέγης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 11, 2018 4:24 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 2:02 pm
Η κορυφή της στέγης.png Υπολογίστε το μήκος του τμήματος AS .
Στέγη...png
Στέγη...png (11.22 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Το ABSC είναι εγγράψιμο. Με ν. συνημιτόνων στο ABC βρίσκω \displaystyle \cos \theta  = \frac{4}{5} \Rightarrow \tan \theta  = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{39}}{{AS}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \boxed{AS=52}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1501
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Η κορυφή της στέγης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Οκτ 11, 2018 11:57 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 2:02 pm
Η κορυφή της στέγης.png Υπολογίστε το μήκος του τμήματος AS .

Από Ήρωνα \displaystyle \left( {ABC} \right) = 594 και \displaystyle 594 = \frac{{33 \cdot 39 \cdot 60}}{{4 \cdot \frac{{CS}}{2}}} \Rightarrow \boxed{CS = 65} κι από Π.Θ \displaystyle \boxed{x = 52}
κ.σ.png
κ.σ.png (53.31 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6028
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η κορυφή της στέγης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Οκτ 12, 2018 12:03 am

Στο \vartriangle ABC θέτω : a + b + c = 2s \Rightarrow \boxed{s = 66} , με \boxed{BC = 2R} και (ABC) = E
Κορυφή της στέγης.png
Κορυφή της στέγης.png (22.68 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές

E = \sqrt {6 \cdot 11(66 - 60)(66 - 39)(66 - 33)}  = \sqrt {6 \cdot 11 \cdot 6 \cdot 27 \cdot 3 \cdot 11}  = 6 \cdot 9 \cdot 11.

\boxed{R = \frac{{abc}}{{4E}} = \frac{{60 \cdot 39 \cdot 33}}{{4 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 11}} = \frac{{65}}{2}} . Στο ορθογώνιο τρίγωνο ASC είναι :


SC = 65 = 13 \cdot 5\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 39 = 3 \cdot 13 \Rightarrow AS = 4 \cdot 13 = 52

Ταύτιση με το Μιχάλη . Αφού το έγραψα το αφήνω


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης