Η τρίτη κάθετη

KARKAR

: Η τρίτη κάθετη.png (12.32 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές

Τα τρίγωνα ASA' , BSB'

είναι όμοια $(\hat{S_{1}}=\hat{S_{2}})$ . Τα AB'

και

τέμνονται στο σημείο

. Δείξτε ότι : $TS \perp AB$ .

Καλησπέρα σε όλους. Περιμένοντας τις αμιγώς γεωμετρικές λύσεις, δίνω μια "διασκεδαστική" λύση κινούμενος ανάποδα. Εντοπίζω το σημείο τομής

και κατόπιν αποδεικνύω ότι το

ταυτίζεται με το ίχνος του

στην

.

: Η τρίτη κάθετη.png (12.32 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Έστω $\displaystyle A\left( {0,0} \right),\;B\left( {a,0} \right),\;B'\left( {a,\;k} \right),\;A'\left( {0,\;m} \right)$ με a, k, m >0

.

Τότε $\displaystyle AB':\;\;\;y = \frac{k}{a}x,\;\;\;A'B:\;\; - \frac{m}{a}x + m$ .

Τέμνονται στο $\displaystyle T\left( {\frac{{am}}{{k + m}},\;\frac{{km}}{{k + m}}} \right)$ .

To αξιοσημείωτο είναι ότι το ύψος του σημείου είναι ανεξάρτητο της απόστασης των .(*)

Αν

η προβολή του

στην

, τότε $\displaystyle \varepsilon \varphi {\rm A}LA' = \frac{m}{{\frac{{am}}{{k + m}}}} = \frac{{k + m}}{a},\;\;\;\varepsilon \varphi BLB' = \frac{k}{{a - \frac{{am}}{{k + m}}}} = \frac{{k + m}}{a}$ ,
άρα οι γωνίες είναι ίσες.

Αν $\displaystyle AS < AL$ τότε $\displaystyle {\widehat S_1} > \widehat {ALA'},\;\;{\widehat S_2} < \widehat {BLB'}$ άτοπον. Ομοίως αν $\displaystyle AS > AL$ , άρα το

ταυτίζεται με το

.

(*) Πρόκειται για ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον θέμα για μελέτη στο σχολείο. Στην "Οδό Μαθηματικής Σκέψης" αφιερώσαμε αρκετές σελίδες στη μελέτη του όμορφου αυτού απρόσμενου φαινομένου.
Εδώ δίνω μια απλή ΑναλυτικοΓεωμετρική προσέγγιση ( χούι είναι αυτό...). Οι γεωμετρικές προσεγγίσεις είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσες.

Επίσης πολύ ενδιαφέρουσα είναι η αναφορά του M. Gardner στο Mathematical Circus. Penguin Books. New York, 1981 (σ. 62)

: η τρίτη κάθετη.png (18.26 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές

Τα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ είναι μέσα στη ζώνη των παραλλήλων $AA'\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BB'$ .

Επειδή $\dfrac{{A'T}}{{TB}} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{AS}}{{SB}} \Rightarrow TS//AA' \Rightarrow TS \bot AB$

Η τρίτη κάθετη

Η τρίτη κάθετη

Re: Η τρίτη κάθετη

Re: Η τρίτη κάθετη

Μέλη σε σύνδεση